极坐标与参数方程

•1．直角坐标与极坐标的互化•设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθρ2＝x2＋y2tanθ＝yxx≠0极坐标化直角坐标直角坐标化极坐标注意角的象限•2.两坐标系互化应注意的问题•(1)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.•(2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标方程化为直角坐标方程，再判断．(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.当θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/•3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：•ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．•几个特殊位置的直线的极坐标方程•(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0；•(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.•4．圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：•ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0.•几个特殊位置的圆的极坐标方程•(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；•(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；(3)当圆心位于Ma，π2，半径为a：ρ＝2asinθ.课堂练习热点6P371,2.•．5.直线、圆、椭圆的参数方程曲线参数方程过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线lx＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.(t为参数)圆心在点M0(x0，y0)，半径为R的圆x＝x0＋Rcosθ，y＝y0＋Rsinθ.(θ为参数)圆心在原点，半径为R的圆x＝Rcosθ，y＝Rsinθ.(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x＝acosφ，y＝bsinφ.(φ为参数)1)11()12()3(4)1()1()2(1112222222tttttttttt）（常见消参数的关系式：真题再研3．直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x＝x0＋tcosθ，y＝y0＋tsinα.(t是参数)0tPP0tPP00下方，在上方，在的数量有向线段PP0的几何意义t若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα)．(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝t1＋t22，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝t1＋t22.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.)t(sintyycostxx00为参数标准形式的系数必须是正中的系数可正可负中、的系数的平方和为、标准形式tytx21t1oo)t(btyyatxx00为参数一般形式2122ttbaAB普通的弦长公式21ttAB标准的弦长公式abk参数方程的用处是用统一的一个变量表示，把yx.1便设曲线上的点时更加方.2比如上的点13y4x.122上的点圆1yx.222为参数）上的点直线t(t2yt21x.3上的点抛物线2xy.4(2cos,3sin)(cos,sin)(12,2)tt200(,)xx参数方程的应用考前p37距离和范围问题考前p37220143,2,.1)20,-2ABxyBPPAPCABCPD练：唐山二模长为的线段两端点分别在轴正半轴和轴的正半轴上滑动，点的轨迹为曲线以的倾斜角为参数，求曲线的参数方程）求点到点（）距离的最大值3212)2)18090(sincos2)100为参数，曲线yxC轨迹的极坐标方程。时，求点上移动在，当点上，且满足在又点于点交圆上的点，射线是）（方程化为极坐标方程和直线）将圆（坐标系。相同的长度单位建立极轴的正半轴为极轴，取，为极点，以：直线已知圆唐山期末）（QPOROQOPOPQRCOPPCOyxCl,l2l1x,2yxl,4:2014-2013.4222相关点法求轨迹））（（，得）则由，（），（），（）设（）（：，）答：（04222222112221221sincos2sincossincosOPsincosl,OROQRQP5.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝tcosα，y＝1＋tsinα(t为参数，0≤α＜π)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A，B，若|AB|＝8，求α[解](1)直线l的普通方程为xsinα－ycosα＋cosα＝0.曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ，即ρ2cos2θ＝4ρsinθ，∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)将l:x＝tcosα，y＝1＋tsinα代入曲线C∶x2＝4y中，得t2cos2α－4tsinα－4＝0.∴t1＋t2＝4sinαcos2α，t1·t2＝－4cos2α.∴|AB|＝|t1－t2|＝4sinαcos2α2－4×－4cos2α＝8.解得cosα＝±22，又∵α∈[0，π)，∴α＝π4或34π.(2)将l:x＝tcosα，y＝1＋tsinα代入曲线C∶x2＝4y中，得t2cos2α－4tsinα－4＝0.