函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1](1)下列函数为奇函数的是()A．y＝xB．y＝exC．y＝cosxD．xxeey解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x为奇函数，故选D.答案：D(2)下列函数中为偶函数的是()A．y＝1xB．y＝lg|x|C．y＝(x－1)2D．y＝2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D为非奇非偶函数．答案：B(3)函数f(x)＝3－x2＋x2－3，则()A．不具有奇偶性B．只是奇函数C．只是偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：由3－x2≥0，x2－3≥0，得x＝－3或x＝3.∴函数f(x)的定义域为{－3，3}．∵对任意的x∈{－3，3}，－x∈{－3，3}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．答案：D[方法引航]判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝lg1－x1＋x.解：(1)要使函数有意义，则1－x1＋x≥0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由1－x1＋x＞0⇒－1＜x＜1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg1＋x1－x＝lg1)11(xx＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值[例2](1)下列函数不是周期函数的是()A．y＝sinxB．y＝|sinx|C．y＝sin|x|D．y＝sin(x＋1)解析：y＝sinx与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1fx，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2017)＋f(2019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－1f1＝－1，∴f(－2017)＋f(2019)＝0.答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1fx(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1fx，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1fx”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2017)＋f(2019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2017)＝1，f(2019)＝－1，∴f(－2017)＋f(2019)＝0.答案：02．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2017)＋f(2019)的值．解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝1，∴f(－2017)＋f(2019)＝2.考点三函数奇偶性的综合应用命题点1.已知奇偶性求参数2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值[例3](1)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1＞3，即2x＋12x－1－3＞0，即2x＋1－32x－12x－1＞0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.答案：C(2)函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且)21(f＝25.①确定函数f(x)的解析式；②用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解：①∵在x∈(－1,1)上f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(x)＝ax1＋x2.又∵)21(f＝25，∴a21＋14＝25.解得，a＝1.∴f(x)＝x1＋x2，经检验适合题意．②证明：由f′(x)＝1＋x2－2x21＋x22＝1－x21＋x22.x∈(－1,1)时，1－x2＞0，∴f′(x)＞0∴f(x)在(－1,1)上为增函数．③由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．∴－1＜t－1＜1－1＜－t＜1t－1＜－t得0＜t＜12.(3)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝()A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．答案：C[方法引航]1根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f－x＝－fx或f－x＝fx在定义域内恒成立，建立参数关系.2根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析：a－1＋2a＝0，∴a＝13.f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0，∴a＋b＝13.答案：132．定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，且)21(f＝0，则满足f(x)＜0的x的集合为()A.),2()21,(∪(2，＋∞)B.)1,21(∪(1,2)C.)21,0(∪(2，＋∞)D.)1,21(∪(2，＋∞)解析：选C.由题意可得f＝f＜0＝)21(f，又f(x)在[0，＋∞)上递减，所以＞12，即x＞12或x＜－12，解得0＜x＜12或x＞2，所以满足不等式f＜0的x的集合为)21,0(∪(2，＋∞)．3．已知函数f(x)＝－x＋log21－x1＋x＋1，则)21()21(ff的值为()A．2B．－2C．0D．2log213解析：选A.由题意知，f(x)－1＝－x＋log21－x1＋x，f(－x)－1＝x＋log21＋x1－x＝x－log21－x1＋x＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则)21(f－1＋)21(f－1＝0，所以)21()21(ff＝2.[方法探究]“多法并举”解决抽象函数性质问题[典例](2017·山东泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系]①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)隐含了用什么结论？什么方法探究？②f(x＋2)＝－f(x)，隐含了什么结论？用什么方法探究．③若f(x)的图象关于x＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？④f(x)在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？⑤f(2)，f(0)从何处计算．[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．(赋值法)：令x＝y＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．第四步：f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)[答案]①②③④[回顾反思]此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|