24.2.3切线的判定与性质

九年级数学上册第24章圆圆规为什么可以画圆？因为脚在走，心不变。你为什么不能圆梦？因为心不定，脚不动。24.2.3切线的判定和性质知识回顾相离相切相交drd=rdr．Ｏl┐dr．Ｏl┐dr．Ｏl┐dr没有公共点唯一的公共点两个公共点位置关系交点个数数量关系直线和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断？知识回顾相切d=r．Ｏl┐dr唯一的公共点判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?1、和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。2、圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。１、切线和圆只有一个公共点。２、圆心到切线的距离等于半径。切线具有什么性质？定义法：数量法（d=r）：问题:如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？lAOdr条件一：直线l经过半径OA的外端点A条件二：直线l垂直于半径OAd=r相切切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。OlA∵OA⊥l∴l是⊙O的切线。几何符号表达：切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。OA是半径，于A判断1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:(1)直线经过半径的外端;(2)直线与这半径垂直。OrA判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?有以下三种方法:切线的判定方法1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。2、数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．1.当你在下雨天快速转动雨伞时,水滴顺着伞的什么方向飞出去的？2.砂轮打磨零件时,溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的?生活中的数学改变切线判定定理的题设与结论如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。O．lA∵直线l切⊙O于点Ａ，∴ＯＡ⊥l几何符号表达：１、圆的切线和圆只有一个公共点。２、圆心到切线的距离等于半径。３、圆的切线垂直于过切点的半径。如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点,直线l1、l2有怎样的位置关系？·OABl1l2l1∥l2证明:∵l1是⊙O切线，l2是⊙O切线，∴l1⊥OA，l2⊥OB.∴l1∥l2.小试牛刀：〖例1〗已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。证明：连接OC(如图)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。∴AB⊥OC。∴AB是⊙O的切线。〖例2〗已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB,OE⊥AC∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。小结例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线与圆有公共点,则连接这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：有交点,连半径,证垂直。用判定定理证。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点,作垂直,证半径。用数量法（d=r）证。连接OC（交点C已给出）过O作OE⊥AC于E（交点E未给出）OBACOABCDE1、如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。求证：AB是⊙O的切线。OBAC2、如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP无交点,作垂直,证半径。有交点,连半径,证垂直练一练1、如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。求证：AB是⊙O的切线。OBAC无交点,作垂直,证半径。练一练证明：过O作OC⊥AB于C∵OA＝OB,OC⊥AB。在Rt△AOC中,∠A＝30°,OA＝10∴OC=5。又∵⊙O的半径为5∴PE为⊙0的切线。21∴∠AOC=∠AOB＝60°。证明：连接OP。∵AB=AC,∴∠B=∠C。∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C。∴OP∥AC。∵PE⊥AC，∴PE⊥OP。∴PE为⊙0的切线。2、如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP练一练有交点,连半径,证垂直•如图CB是⊙O的切线,C是切点,OB交⊙O于D,∠B＝30°,OB=6cm,求BCCOBD〖例3〗解：连接OC∵CB切⊙O于C,∴OC⊥BC。在Rt△BOC中,∠B＝30°,OB＝6∴OC=3。∴BC==22OCOB33注：在已知圆的切线时，常连接过切点的半径如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC,∠C=30°，AD=1，AB=2.试猜想在BC是否存在一点P，使得⊙P与线段CD、AB都相切。如存在，请确定⊙P的半径;如不存在，请说明理由。挑战自我！30DCBAEBP．．点拨：这是一道存在性探究题，在解这类题型时，可先假设有符合条件的点P存在，作出⊙P，再结合已知条件和所学知识，找出点P。若能找到点P，则存在；若不能找到点P，则不存在。课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线课堂作业：课本家庭作业：练习册下课!