概率论与数理统计课程小论文

浅谈随机变量的数字特征摘要：我们知道，随机变量的分布函数完全刻画了随机变量的统计规律，它反应了随机变量的全貌，而随机变量的数字特征只是随机变量的统计规律的某一个方面的数量描述，不能完整地描述随机变量，但却反映随机变量取值的一些特征。本文就从这点出发，主要讲述随机变量的数字特征的引出、相关知识点及重点和随机变量数字特征的应用。关键字：数字特征数学期望方差协方差相关系数我们知道随机变量的分布函数能够全面地描述随机变量的统计特性。但实际问题中，由于有时很难求出随机变量的分布函数或者不需要知道随机变量的一切统计特性，而只需要知道随机变量的某些特征。例如在分析某校学生英语四级水平时，只要计算该校的平均成绩和计算该校每位学生的考试成绩与平时成绩的偏离大小，便可以对该校的学生英语四级水平做出比较客观的判断，这种能表示随机变量某些方面特征的数就是随机变量的数字特征。另外我们还注意到许多的重要分布都会含1到3个参数，而这些参数都与数字特征重合或关系密切，因此只要知道分布的类型，通过数字特征就能完全确定分布函数。由此可见，随机变量的数字特征的研究具有理论上和实际上的重要意义。通过这章的学习，我理解了随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差；掌握了二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差；会根据随机变量X的概率分布计算其函数()gX的数学期望[()]EgX；会根据随机变量(,)XY的联合概率分布计算其函数(,)gXY的数学期望正[(,)]EgXY；理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念。下面是我总结出来的本章知识要点：1．数学期望设X是离散型的随机变量，其概率函数为(),1,2,,iiPXapi如果级数iiiap绝对收敛，则定义X的数学期望为()iiiEXap；设X为连续型随机变量，其概率密度为()fx，如果广义积分()xfxdx绝对可积，则定义X的数学期望为()()EXxfxdx．2．随机变量函数的数学期望设X为离散型随机变量，其概率函数(),1,2,,iiPXapi如果级数()iiigap绝对收敛，则X的函数()gX的数学期望为[()]()iiiEgXgap设(,)XY为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,ijijPXaYbpij如果级数(,)ijijjigabp绝对收敛，则(,)XY的函数(,)gXY的数学期望为[(,)](,)ijijjiEgXYgabp；特别地();()iijjijiijiEXapEYbp.设X为连续型随机变量，其概率密度为()fx，如果广义积分()()gxfxdx绝对收敛，则X的函数()gX的数学期望为[()]()()EgXgxfxdx．设(,)XY为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)fxy，如果广义积分(,)(,)gxyfxydxdy绝对收敛，则(,)XY的函数(,)gXY的数学期望为[(,)](,)(,)Egxygxyfxydxdy；特别地()(,)Exxfxydxdy,()(,)EYyfxydxdy.3．数学期望的性质3.1()Ecc(其中c为常数)；3.2()()EkXbkEXb(,kb为常数)；3.3()()()EXYEXEY；3.4如果X与相互独立，则()()()EXYEXEY.4．方差与标准差随机变量X的方差定义为2()[()]DXEXEX．计算方差常用下列公式：22()()[()]DXEXEX’当X为离散型随机变量，其概率函数为(),1,2,,iiPXapi如果级数2(())iiiaEXp收敛，则X的方差为2()(())iiiDXaEXp；当X为连续型随机变量，其概率密度为()fx，如果广义积分2(())()xEXfxdx收敛，则X的方差为2()(())()DXxExfxdx.随机变量X的标准差定义为方差()DX的算术平方根()DX.5．方差的性质5.1()0Dc(c是常数)；5.22()()DkXkDX(k为常数)；5.3如果X与Y独立，则()()()DXYDXDY.6．协方差设(,)XY为二维随机变量，随机变量(,)XY的协方差定义为cov(,)[(())(())]XYEXEXYEY．计算协方差常用下列公式：cov(,)()()()XYEXYEXEY．当XY时，cov(,)cov(,)()XYXXDX．协方差具有下列性质：6.1cov(,)0Xc(c是常数)；6.2cov(,)cov(,)XYYX；6.3cov(,)cov(,)kXlYklXY(,kl是常数)；6.41212cov(,)cov(,)cov(,)XXYXYXY7．相关系数随机变量(,)XY的相关系数定义为cov(,)()()XYXYDXDY相关系数XY反映了随机变量X与Y之间线性关系的紧密程度，当||XY越大，X与Y之间的线性相关程度越密切，当0XY时，称X与Y不相关．相关系数具有下列性质：7.1||1XY；7.2||1XY的充要条件是()1PYaXb，其中,ab为常数；7.3若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关，即0XY，但由0XY不能推断X与Y独立．7.4下列5个命题是等价的：．7.4.10XY；7.4.2cov(,)0XY；7.4.3()()()EXYEXEY；7.4.4()()()DXYDXDY)；7.4.5()()()DXYDXDY．利用协方差或相关系数可以计算()()()2cov(,)()()2()()XYDXYDXDYXYDXDYDXDY．8．原点矩与中心矩随机变量X的k阶原点矩定义为()kEX；随机变量X的k阶中心矩定义为[(())]kEXEX]；随机变量(,)XY的(,)kl阶混合原点矩定义为()klEXY；随机变量(,)XY的(,)kl阶混合中心矩定义为[(())(())]klEXEXYEY．一阶原点矩是数学期望()EX；二阶中心矩是方差D(X)；(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)XY.9．常用分布的数字特征9.1当X服从二项分布(,)Bnp时，(),()(1)EXnpDXnpp．9.2当X服从泊松分布()p时，(),()EXDX，9.3当X服从区间(,)ab上均匀分布时，2()(),()212abbaEXDX9.4当X服从参数为的指数分布时，211(),()EXDX9.5当X服从正态分布2(,)N时，2(),()EXDX．9.6当(,)XY服从二维正态分布221212(,,,,)N时，211(),()EXDX；222(),()EYDY；12cov(,),XYXY上面讲了那么多的知识点，看起来很是繁琐，个人认为重点是期望、方差、协方差、相关系数的概念、计算和性质；常用分布的数字特征；利用性质计算随机变量函数的期望。从随机变量的数字特征的引出中，我们可以知道研究随机变量的数字特征可以简化某些实际问题的解答，可以从总体上掌握随机变量某一侧面的性质,下面讲讲随机变量的数字特征的应用：1.通过分布求数字特征如：已知某网站每天的登录人数服从参数为的泊松分布，而进入该网站的每个人打开某网页的概率为，试求访问该网页人数的分布律及其数学期望.解以表示登录网站的人数，表示访问某网页的人数.依题意:由全概率公式得:可见仍服从泊松分布，参数为，因此其数学期望为2.利用运算性质求数字特征如：已知随机变量和服从正态分布和，且与的相关系数，设，试求(1)，，；(2)与是否相互独立?为什么.解(1)由运算性质，有，故；(2)由于不一定是二维正态分布，故由不能推出与相互独立.(若与均服从正态分布，且与相互独立，则服从二维正态分布)3.利用分解法进行计算如：对某一目标连续射击，直至命中次为止.设每次射击的命中率为，试求消耗的子弹数的数学期望.解设表示第次命中至第次命中之间所消耗的子弹数(含第次命中不含第次命中)，则，，于是故.总之，随机变量的数字特征的研究具有理论上和实际上的重要意义。参考文献：《概率论与数理统计》第四版江西高校出版社《概率论与数理统计学习指导书》第四版江西高校出版社