椭圆题型分类解析

yOxBAPF1F2例1、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线241xy的焦点，离心率为552．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若AFMA1，BFMB2，求21的值．例2、已知椭圆14222yx两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121PFPF，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值。例3、已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为F1(,0)c，C上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等．(1)求椭圆的离心率e的取值范围；(2)若已知椭圆的左焦点为（-1，0）,右准线为4x，A、B为椭圆上的两个动点，且满足OA⊥OB(O为坐标原点)，试证明直线AB总与一个定圆相切,并求该圆的面积.．例4、已知点(1,0)A、(1,0)B和动点P满足：2APB,且存在正常数m，使得2cos.PAPBm（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）设直线:1lyx与曲线C相交于两点E、F,且与y轴的交点为D.若(23),DEDF求m的值.例5、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W.(Ⅰ)求W的方程；(Ⅱ)经过点（0,2）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；(Ⅲ)已知点M（2，0），N（0,1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OPOQ与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．O·F1xyAB1、【解】（1）设椭圆C的方程为)0(12222babyax，抛物线方程化为yx42，其焦点为)1,0(，椭圆C的一个顶点为)1,0(，即1b，…………………………………………3分由55222abaace，得52a，∴椭圆C的方程为1522yx．……………………………………………………6分（2）由（1）得)0,2(F，…………………………………………………………7分设),(11yxA),(22yxB，),0(0yM，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为)2(xky，代入1522yx，并整理得052020)51(2222kxkxk，………………………………………9分∴2221222151520,5120kkxxkkxx．………………………………………10分又),(,),(022011yyxMByyxMA，),2(,),2(2211yxBFyxAF，由AFMA1，BFMB2，得),2(),(111011yxyyx，),2(),(222022yxyyx，∴2221112,2xxxx，………………………………………………12分∴10)(242)(22221212121221121xxxxxxxxxxxx．………………14分2、解：（1）由题可得)2,0(1F，)20(2F，设)0,0(),(00000yxyxP则)2,(001yxPF，)2,(001yxPF，……………………2分∴1)2(202021yxPFPF，∵点),(00yxP在曲线上，则1422020yx，∴242020yx，从yOxBAPF1F2而1)2(242020yy，得20y.则点P的坐标为)2,1(.……………………5分（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为)0(kk，………6分则BP的直线方程为：)1(2xky.由142)1(222yxxky得xkkxk)2(2)2(2204)2(2k，设),(BByxB，则2222222212)2(2,2)2(21kkkkkkxkkkxBB，同理可得222)222kkkxA，则2224kkxxBA，228)1()1(kkxkxkyyBABA.………………9分所以：AB的斜率2BABAABxxyyk为定值.………………10分（3）设AB的直线方程：mxy2.由142222yxmxy，得0422422mmxx，由0)4(16)22(22mm，得2222mP到AB的距离为3||md，………………12分[来源:学科网]则3||3)214(21||212mmdABSPAB2)28(81)8(8122222mmmm。当且仅当22,222m取等号∴三角形PAB面积的最大值为2。………………14分3、解（1）设点P的坐标为(,)Pxy，则|PF1|=aex，∴aex=2axc，…2分整理得：2()()aacxcac，而xa，∴2()()aacacac，解得211e…5分（2）易求得椭圆的方程为22:143xyC，………………………………6分设AB不垂直于x轴时，AB的方程为ykxm，1122(,),(,)AxyBxy，联立方程22143ykxmxy可得222(34)84120kxkmxm由0,得2243mk且122212283441234kmxxkmxxk………………………8分而0OAOBOAOB则，即2222121212122712(1)(1)()034mkxxyykxxmkxxmk221217mk。而原点到直线AB的距离为2||1mk，所以原点到直线AB的距离为127。即直线AB都与圆22127xy相切。…11分设AB垂直于x轴时，AB的方程为xn，代入椭圆方程得2342yn即2233(,4),(,4)22AnnBnn，222312(4)047OAOBnnn，此时，直线AB与圆22127xy相切.综上:直线AB一定与圆22127xy相切,且该圆的面积为127.……13分4、解：（I）在PAB中，由余弦定理得2222cos2,ABPAPBPAPB(1分)22,cos.ABPAPBm224()2(1cos2)()4,PAPBPAPBPAPBm………(4分)212PAPBmAB，即动点P的轨迹为以A、B为两焦点的椭圆.动点P的轨迹C的方程为：2211xymm.…………………………(6分)（II）由22111yxxymm得22(21)2(1)(1)0mxmxm.（※）…(7分)设11(,)Exy、22(,)Fxy，易知(0,1)D，则122(1),21mxxm①2121.21mxxm②…………………………………………………(8分)又(23),DEDF1122(,1)(23)(,1),xyxy12(23),xx③……………………………………………(10分)将③代入①、②得22222(1)(33)21,1(23)21mxmmxm消去2x得12m或1.3m10,2mm，代入（※）方程0.故12m……………(12分)5、【解】[来源:Z+xx+k.Com]交点。∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点。∴2,1ac。∴2221bac∴W：221(0)2xyy…………………………………………….5分(Ⅱ)设直线l的方程为2ykx，代入椭圆的方程，得22(2)12xkx[来源:Zxxk.Com]整理，得①…………………………7分因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于222184()4202kkk，解得22k或22k。∴满足条件的k的取值范围为22k或22k。（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OPOQ＝（x1+x2，y1+y2),由①得1224212kxxk.②又1212()22yykxx③因为(2,0)M，(0,1)N，所以(2,1)MN.………………………12分所以OPOQ与MN共线等价于1212()xxyy=-2.将②③代入上式，解得22k.所以不存在常数k，使得向量OPOQ与MN共线.……………………15分