完整版线性代数知识总结

矩阵矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终，对矩阵的理解与掌握要扎实深入。理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式。正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，正确理解矩阵的秩的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。了解分块矩阵及其运算。必须会解矩阵方程。总复习概念特殊矩阵m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)构成的数表单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵E对角矩阵:主对角元素是其余元素都是零的n阶方阵Λ对称矩阵:一、矩阵主要知识网络图12n,,，AT=A反对称矩阵:AT=－A矩阵运算A+B=(aij+bij)kA=(kaij)AB=C其中A与B同型的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必须是方阵.伴随矩阵n阶行列式的|A|所有元素的代数余子式构成的矩阵1nijikkj,mssnmnkcabA,B,CAT:AT112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA逆矩阵概念求法证法如果AB=BA=E,则A可逆，B是A的逆矩阵.用定义用伴随矩阵分块对角矩阵|A|≠0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A与B互逆.反证法.11AAA1110000AABB1110000ABBA二、重要定理1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|。2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。3、n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0⇔R(A)=n⇔A为满秩矩阵。4、若AB=E(或BA=E),则B=A-1。5、若A为对称矩阵，则AT＝A。6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A。三、重要公式、法则。1、矩阵的加法与数乘(1)A+B=B+A;(2)(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+O=O+A=A;(4)A+(－A)=O;(5)k(lA)=(kl)A;(6)(k+l)A=kA+lA;(7)k(A+B)=kA+kB;(8)1A=A,OA=O。2、矩阵的乘法(1)(AB)C=A(BC);(2)A(B+C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC;(3)(kA)(lB)=(kl)AB;(4)AO=OA=O.3、矩阵的转置(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT.4、矩阵的逆(1)(A-1)-1=A;(2)(kA)-1=k-1A-1;(3)(AB)-1=B-1A-1;(4)(AT)-1=(A-1)T.5、伴随矩阵(1)AA*=A*A=|A|E;(2)(kA)*=kn-1A*;(3)(A*)-1=(A-1)*=|A|-1A;(4)(AT)*=(A*)T.6、n阶方阵的行列式(1)|AT|=|A|;(2)|kA|=kn|A|;(3)|AB|=|A||B|;(4)|A-1|=|A|-1;(5)|A*|=|A|n-1.四、典型例题1、方阵的幂运算2、求逆矩阵3、解矩阵方程4、A*题方阵的行列式行列式是一个重要的数学工具，在代数学中有较多的应用。应当在正确理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练地计算3阶、4阶行列式，也要会计算简单的n阶行列式。还要会运用行列式求解n个方程n个未知数的n元一次线性方程组。计算行列式的基本方法是用按行（列）展开定理，通过降阶来实现，但在展开之前往往先运用行列式的性质，对行列式作恒等变形，以期有较多零或公因式，这样可简化计算。要熟练运用计算行列式的典型的计算方法和计算技巧。一、行列式主要知识点网络图概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般项是不同行不同列元素乘积的代数和.●D=DT●互换行列式的两行(列)，行列式变号。●某行有公因子可以提到行列式的外面。●若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和，则该行列式可拆成两个行列式.●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。行列式知识点性质nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212222111211)1(展开计算●行展开●列展开10nkikjkDijaAij10nikjkkDijaAij●定义法●递推法●加边法●数学归纳法●公式法●拆项法●乘积法●齐次线性方程组有非零解的充要条件●克拉默法则应用二、主要定理1、行列式的展开定理。111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n)=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj2、行列式展开定理的推论。ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j)a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk=0(j≠k)3、非齐次线性方程组克拉默法则。11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。1212,,nnDDDxxx=.DDD的系数行列式D≠0，原方程组有惟一解1111221211222211220,0,00,nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxD的系数行列式则方程组没有非零解。4、齐次线性方程组的克拉默法则。若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。三、重要公式12121;、对角行列式nnλλD=λλλλ1(1)2212(1).nnnnλλD=λλλλ111211122221221211222000000.nnnnnnnnnnaaaaaaaaD=aaaa=aaa、上、下三角行列式。1111212122122111(1)21211000000(1).nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaD=aaaa=aaa300ABAABBmnD=、设是阶方阵，是阶方阵，则；0(1)0AABBmnD=。12222121111124111()nnijnijn-n-n-nxxxxxxxxxxx、范德蒙得行列式。四、典型例题1、3～4阶的行列式2、简单的n阶行列式3、用公式可逆矩阵与初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，他在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都起到了十分重要的作用。熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和等价矩阵的概念，理解矩阵秩的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。理解齐次线性方程组有非零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。深刻理解线性方程组通解的概念，掌握用初等变换求解线性方程组的方法。一、主要知识网络图矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换初等方阵矩阵的秩线性方程组矩阵的初等变换概念1.对换矩阵的i,j两行（列）.2.用k≠0乘矩阵的第i行（列）.3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的对应元素上去.性质1.初等变换不改变矩阵的秩.2.对A经过有限次初等变换得到B，则A等价B.用途求逆，11~~AEEAAEEA列行求矩阵A的秩、最简型、标准形.求线性方程组的解.初等方阵性质初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵.对Am×n矩阵实施一次行初等变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等方阵；对A实施一次列初等变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等方阵.任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵的乘积.概念对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵.矩阵的秩概念k阶子式.秩：矩阵非零子式的最高阶数.性质零矩阵的秩为零.r(A)=r(AT)若B可逆，则r(AB)=r(A).r(A+B)≤r(A)+r(B)r(AB)≤min{r(A),r(B)}r(AB)≥r(A)+r(B)－n若AB=0,则r(A)+r(B)≤n线性方程组AxOAxO有非零解r(A)n.求解1.化系数矩阵为最简形.2.找等价的方程组.3.写通解.bAxbAx有解r(A)=r(B).求解1.把增广矩阵B化为最简形.2.找等价的方程组.3.写通解.二、重要定理1、若A与B等价，则r(A)=r(B).2、初等矩阵左（右）乘矩阵A，其结果就相当于对A作相应的初等行（列）变换。3、初等方阵均可逆，且其逆仍是同种的初等方阵。4、若A与B等价，则存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B.5、若A可逆，则存在有限个初等方阵P1,P2,…,Pl,使A＝P1P2…Pl。6、n元齐次线性方程组Am×nx=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩r(A)n。7、n元非齐次线性方程组Am×nx=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩r(A)等于增广矩阵r(A，b)的秩。三、重要公式1、矩阵的秩(1)r(A)=r(AT);(2)r(A+B)≤r(A)+r(B)(3)r(AB)≤min{r(A)r(B)}(4)若P、Q可逆，则r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)r(A),k≠0,(5)r(kA)=0,k=0;A0(6)r=r(A)+r(B)。0B2、用初等变换求逆1()~AEEA行变换（）3、用初等行变换求A-1B1ABEAB行变换～1~AEEA列变换1~AECCA列变换四、典型例题1、用初等变换求逆和求秩。2、用初等变换求解线性方程组。3、用初等变换求A-1B。向量组的线性相关性向量组的线性相关性是代数学中一个十分重要的概念，对讨论线性方程组解的存在性和解的结构起到了至关重要的作用。本章要求理解向量的线性组合和线性表示的概念，深刻理解向量组的线性相关、线性无关的定义，会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。了解向量组的极大无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组和秩。了解向量组等价的概念，以及向量组的秩与矩阵秩的关系。了解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念。掌握线性方程组解的性质和结构，正确理解非齐次线性方程组和它所对应的齐次线性方程组的解之间的关系，深刻理解齐次线性方程组的基础解系、通解、解空间的概念，熟练求解线性方程组的通解。一、向量组的线性相关性主要知识网络图向量组的线性相关性n维向量运算线性表示概念判定线性相关概念判定线性无关概念判定充要条件充分条件充要条件充分条件极大无关组概念求法向量空间概念向量空间的基线性方程组Ax=0初等行变换阶梯形有解判定总有解r(A)≠r(B)无解r(A)=r(B)有解r(A)=n仅有零解r(A)n有非零解解的结构基础解系Ax=b二、重要定理1、线性无关（1）一个向量线性无关的充分必要条件是它不是零向量。（2）两个向量线性无关的充分必要条件是它们对应的分量不成比例。（3）n个n维向量线性无关的充分必要条件是它们所构成n阶行列式不为零。（4）若整组向量线性无关，则它的任何部分组都线性无关。（5）若r维的向量组线性无关，则在每个向量的后边都添上一个分量而得的向量组仍线性无关。2、线性相关（1）一个向量线性相关的充分必要条件是它是零向量。（2）两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的分量成比例。（3）n个n维向量线性相关的充分必要条件是它们构成的行列式等于零。（4）向量组α1，α2，…，αm线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量能由其余的m－1个向量线性表示。（5）若向量组α1，α2，…，αr线性相关，则向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αm仍线性相关。3、线性相关性与线性表示（1）向量组α1，α2，…，αm线性相关的充分必要条件是