高一北师大版数学必修1第一章同步教学第四章1.1函数与方程

第四章函数应用第四章函数应用§1函数与方程1．1利用函数性质判定方程解的存在学习导航学习目标二次方程的解――→了解函数零点与方程根的关系――→理解函数零点的概念――→掌握函数零点存在的判定重点难点重点：函数零点与方程根的关系及零点存在的判定．难点：函数零点存在性的判定．新知初探·思维启动1．函数的零点(1)函数y＝f(x)的__________与_________________________称为这个函数的零点．(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程__________的解．图像横轴的交点的横坐标f(x)＝0想一想1.函数y＝f(x)的零点是“f(x)＝0的点”吗？提示：“零点”并不是“点”，而是一个“实数”，是f(x)图像与x轴交点的横坐标．做一做1.函数y＝x的零点是()A．(0,0)B．0C．1D．不存在解析：选B.y＝x与x轴交于原点，y＝0，∴x＝0.2．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.x2－2x＝0，∴x＝0，x＝2.2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是________的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号________，即______________，则(a，b)内，函数y＝f(x)至少_________零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．连续相反f(a)f(b)0有一个想一想2.若函数y＝f(x)在[a，b]上有零点，一定有f(a)·f(b)0吗？提示：不一定．如y＝x2在[－1,1]有零点0，但f(－1)·f(1)0.做一做3.已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)解析：选C.f(0)＝－1，f(1)＝－1，f(2)＝5，f(3)＝23，正零点在(1,2)上．典题例证·技法归纳题型一求函数的零点下列函数是否存在零点？若存在，求出其零点；若不存在，说明理由．(1)y＝ax＋2(a≠0)；(2)y＝4x2＋4x＋1(x＞0)；(3)y＝lnx－1.题型探究例1【解】(1)函数y＝ax＋2(a≠0)存在零点．其零点是使ax＋2＝0成立的x值，故x＝－2a(a≠0)是函数的零点．(2)函数y＝4x2＋4x＋1(x＞0)不存在零点．因为(2x＋1)2＝0，解得x＝－12∉{x|x＞0}，即使4x2＋4x＋1＝0(x＞0)的x值不存在，故函数y＝4x2＋4x＋1(x＞0)不存在零点．(3)函数y＝lnx－1存在零点．令lnx－1＝0⇒lnx＝1⇒x＝e.即e是使lnx－1＝0成立的x值，故x＝e是此函数的零点．【名师点评】判断函数的零点，即在定义域内是否有满足f(x0)＝0的x0值存在．要注意零点并不是点而是点的横坐标．变式训练1．判断下列函数是否存在零点，如果存在,请求出．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝1＋log3x；(3)f(x)＝4x－16.解：(1)令－8x2＋7x＋1＝0，即8x2－7x－1＝0，∴x＝－78或x＝1，∴f(x)的零点为－78和1.(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝13，所以函数的零点为13.(3)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2，所以函数的零点为2.题型二零点个数的判断例2(2010·高考福建卷)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x＞0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】法一：令f(x)＝0，得x≤0x2＋2x－3＝0或x＞0lnx＝2，∴x＝－3或x＝e2，应选C.法二：画出函数f(x)的图像可得，图像与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点．【方法小结】判断函数零点个数的方法主要有：(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．(2)用定理：零点存在性定理．(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．变式训练2．已知函数f(x)＝x＋1x－3，则f(x)＝0在区间(1,3)内()A．恰有一个解B．恰有两个解C．至少有一个解D．无解解析：选A.因为f(x)＝x＋1x－3的图像在区间[1,3]上是连续曲线，且在[1,3]上是增加的，f(1)·f(3)＝(－1)×13＝－130，所以f(x)＝x＋1x－3在区间(1,3)内恰有一个零点，即f(x)＝0在区间(1,3)内恰有一个实数解．题型三判断零点所在区间本题满分5分)(2011·高考课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()例3A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34【思路点拨】根据零点所在区间的判定定理f(a)f(b)0.【解析】y1＝ex为增函数，y2＝4x－3为增函数，∴f(x)＝y1＋y2＝ex＋4x－3为增函数,f－14＝e－14－40，f0＝e0－3＝－20，f14＝e14－20，f12＝e12－10.∴f14·f120，零点区间为14，12.名师微博这是常用方法，一定要掌握噢！【答案】C5分【思维总结】逐个计算区间端点的函数值的正与负，直到区间端点函数值异号，可判定在此区间内有零点．变式训练3．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点所在的区间为()A．(0，12)B．(14，12)C．(12，1)D．(1,2)解析：选C.∵f(14)＝log214＋2×14－1＝－2＋12－1＝－520，f(12)＝log212＋2×12－1＝－1＋1－1＝－10，f(1)＝log21＋2×1－1＝0＋2－1＝10，f(2)＝log22＋2×2－1＝1＋4－1＝40，∴f(12)·f(1)0，∵f(x)＝log2x＋2x－1在区间[12，1]上是增加的，∴函数f(x)的图像在区间[12，1]上是连续曲线．∴f(x)＝log2x＋2x－1的零点所在的区间为(12，1)．备选例题1．(2010·高考浙江卷)已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0解析：选B.设y1＝2x，y2＝11－x，∵y1在R上为增函数，y2在(1，＋∞)上为增函数，y1＋y2＝2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，又x0为函数f(x)的一个零点，x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)∴f(x1)0，f(x2)0.2．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0,若方程有两根,其中一根在区间(－1,0)内,另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．解：由题意知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内,可以画出示意图(如图所示)，观察图像可得f－1＝20f0＝2m＋10f1＝4m＋20f2＝6m＋50，解得－56m－12，所以m的取值范围是(－56，－12)．方法感悟方法技巧1．求函数的零点时，先考虑解方程f(x)＝0,方程f(x)＝0无实数根则函数无零点，方程f(x)＝0有实根则函数有零点．2．判断函数f(x)是否在(x1，x2)上存在零点,除验算f(x1)·f(x2)0是否成立外，还需考察函数在(x1，x2)上是否连续．若要判断根的个数，还需结合函数的单调性．失误防范当函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．例如：①二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3,4]上有f(3)＝0，f(4)0，所以有f(3)·f(4)＝0，但3是函数f(x)的一个零点．②函数f(x)＝x2在区间[－1,1]上，f(－1)·f(1)＝10，但是它存在零点0.③函数f(x)＝x＋1，x0，－2，x＝0，x－3，x0在区间[－1,1]上有f(－1)·f(1)0，但是由其图像知函数f(x)在区间(－1,1)内无零点．