《一元二次方程》单元测试卷

第1页（共14页）《一元二次方程》单元测试卷时间：70分钟满分：100分一、选择题（每小题3分，共18分）1．（3分）下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（）A．﹣x=9B．x3﹣x2+40=0C．=3D．3x3﹣2xy+y2=02．（3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x+2）2=3B．（x﹣2）2=3C．（x﹣2）2=5D．（x+2）2=53．（3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=04．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解是（）A．2B．﹣2，1C．﹣1D．2，﹣15．（3分）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A．13B．11或13C．11D．126．（3分）长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2013年大王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为x，根据题意可列方程（）A．2100（1+x）=2541B．2541（1﹣x）2=2100C．2100（1+x）2=2541D．2541（1﹣x2）=2100二、填空题（每小题3分，共15分）7．（3分）一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是．8．（3分）方程（x﹣3）2﹣9=0的解为．9．（3分）若方程x2﹣x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2﹣x1=．10．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．11．（3分）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是．第2页（共14页）三、解答题（共67分）12．用适当方法解方程．（1）x2﹣2x=2x+1（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8（3）x2﹣2x=5（4）2（x﹣3）=3x（x﹣3）13．若方程（m﹣1）+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程，求m的值．14．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．第3页（共14页）15．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？16．如图①：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？如图②：用含x的代数式表示：AB=cm；AD=cm；矩形ABCD的面积为cm2；列出方程并完成本题解答．第4页（共14页）17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？第5页（共14页）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共18分）1．（3分）下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（）A．﹣x=9B．x3﹣x2+40=0C．=3D．3x3﹣2xy+y2=0【解答】解：A、﹣x=9为一元二次方程；B、x3﹣x2+40=0为一元三次方程；C、=3为分式方程；D、3x3﹣2xy+y2=0为二元二次方程．故选A．2．（3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x+2）2=3B．（x﹣2）2=3C．（x﹣2）2=5D．（x+2）2=5【解答】解：方程移项得：x2+4x=﹣1，配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．故选A．3．（3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0【解答】解：A、x2+2x﹣4=0，∵a=1，b=2，c=﹣4，∴b2﹣4ac=4+16=20＞0，设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2=﹣=﹣2，本选项不合题意；B、x2﹣4x+4=0，∵a=1，b=﹣4，c=4，∴b2﹣4ac=16﹣16=0，第6页（共14页）设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2=﹣=4，本选项不合题意；C、x2+4x+10=0，∵a=1，b=4，c=10，∴b2﹣4ac=16﹣40=﹣24＜0，即原方程无解，本选项不合题意；D、x2+4x﹣5=0，∵a=1，b=4，c=﹣5，∴b2﹣4ac=16+20=36＞0，设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2=﹣=﹣4，本选项符合题意，故选D4．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解是（）A．2B．﹣2，1C．﹣1D．2，﹣1【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2=0，（x﹣2）（x+1）=0，所以，x﹣2=0，x+1=0，解得x1=2，x2=﹣1．故选：D．5．（3分）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A．13B．11或13C．11D．12【解答】解：∵x2﹣8x+15=0，∴（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，即x1=3，x2=5，∵一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，第7页（共14页）∴当底边长和腰长分别为3和5时，3+3＞5，∴△ABC的周长为：3+3+5=11；∴当底边长和腰长分别为5和3时，3+5＞5，∴△ABC的周长为：3+5+5=13；∴△ABC的周长为：11或13．故选B．6．（3分）长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2013年大王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为x，根据题意可列方程（）A．2100（1+x）=2541B．2541（1﹣x）2=2100C．2100（1+x）2=2541D．2541（1﹣x2）=2100【解答】解：设这两年平均增长率为x，根据题意得：2100（1+x）2=2541，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）7．（3分）一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是2．【解答】解：一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是：2．故答案为：2．8．（3分）方程（x﹣3）2﹣9=0的解为x1=6，x2=0．【解答】解：由原方程移项，得（x﹣3）2=9，开平方，得x﹣3=±3，所以x=3±3，解得x1=6，x2=0．故答案是：x1=6，x2=0．第8页（共14页）9．（3分）若方程x2﹣x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2﹣x1=1．【解答】解：∵x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，∵x1＜x2，∴解得：x1=0，x2=1，则x2﹣x1=1﹣0=1．故答案为：1．10．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜且k≠0．【解答】解：∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案是：k＜且k≠0．11．（3分）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥﹣1．【解答】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．12．（3分）某种传染性牛疾在牛群中传播迅猛，平均一头牛每隔6小时能传染m头牛，现知一养牛场有a头牛染有此病，那么12小时后共有am2+2am+a头牛染上此病（用含a、m的代数式表示）．【解答】解：∵平均一头羊每隔6小时能传染a头羊，第9页（共14页）∴12小时能传染两轮，根据题意得：a+ma+m（a+ma）=am2+2am+a，故答案为：am2+2am+a．三、解答题（每小题0分，共64分）13．用适当方法解方程．（1）x2﹣2x=2x+1（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8（3）x2﹣2x=5（4）2（x﹣3）=3x（x﹣3）【解答】解：（1）x2﹣4x=1，x2﹣4x+4=5，（x﹣2）2=5，x﹣2=±，所以x1=2+，x2=2﹣；（2）x2+2x﹣3=0，（x+3）（x﹣1）=0，x+3=0或x﹣1=0，所以x1=﹣3，x2=1；（3）x2﹣2x+1=6，（x﹣1）2=6，x﹣1=±，所以x1=1+，x2=1﹣；（4）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，所以x1=3，x2=．14．若方程（m﹣1）+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程，求m的值．第10页（共14页）【解答】解：∵方程（m﹣1）+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程，∴m2+1=2，m﹣1≠0，解得：m=±1，m≠1，则m=﹣1．15．已知a是方程x2﹣2013x+1=0的一个根，求代数式a2﹣2012a+的值．【解答】解：∵a是方程x2﹣2013x+1=0的一个根，∴a2﹣2013a+1=0，∴a2=2013a﹣1，∴原式=2013a﹣1﹣2012a+=a+﹣1=﹣1=﹣1=2013﹣1=2012．16．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【解答】（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，第11页（共14页）则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．17．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），因此①，②，④，⑤是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式．（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2﹣x=2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．18．如图①：要设计一幅宽