2009-2018年题-考研数学--数三

—１　　　　—２００９年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共８小题，每小题４分，共３２分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（１）函数ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ３ｓｉｎπｘ的可去间断点的个数为（　　）（Ａ）１．　　　　　　　（Ｂ）２．　　　　　　　（Ｃ）３．　　　　　　　（Ｄ）无穷多个．（２）当ｘ→０时，ｆ（ｘ）＝ｘ－ｓｉｎａｘ与ｇ（ｘ）＝ｘ２ｌｎ（１－ｂｘ）是等价无穷小量，则（　　）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝－１６．（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝１６．（Ｃ）ａ＝－１，ｂ＝－１６．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝１６．（３）使不等式∫ｘ１ｓｉｎｔｔｄｔ＞ｌｎｘ成立的ｘ的范围是（　　）（Ａ）（０，１）．（Ｂ）１，π２æèçöø÷．（Ｃ）π２，πæèçöø÷．（Ｄ）（π，＋∞）．（４）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间［－１，３］上的图形如图所示，则函数Ｆ（ｘ）＝∫ｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ的图形为（　　）（Ａ）　（Ｂ）（Ｃ）　（Ｄ）（５）设Ａ，Ｂ均为２阶方阵，Ａ∗，Ｂ∗分别为Ａ，Ｂ的伴随矩阵．若Ａ＝２，Ｂ＝３，则分块矩阵ＯＡＢＯæèçöø÷的伴随矩阵为（　　）（Ａ）Ｏ３Ｂ∗２Ａ∗Ｏæèçöø÷．（Ｂ）Ｏ２Ｂ∗３Ａ∗Ｏæèçöø÷．（Ｃ）Ｏ３Ａ∗２Ｂ∗Ｏæèçöø÷．（Ｄ）Ｏ２Ａ∗３Ｂ∗Ｏæèçöø÷．（６）设Ａ，Ｐ均为３阶矩阵，ＰＴ为Ｐ的转置矩阵，且ＰＴＡＰ＝１０００１０００２æèçççöø÷÷÷．若Ｐ＝（α１，α２，α３），Ｑ＝—２　　　　—（α１＋α２，α２，α３），则ＱＴＡＱ为（　　）（Ａ）２１０１１０００２æèçççöø÷÷÷．（Ｂ）１１０１２０００２æèçççöø÷÷÷．（Ｃ）２０００１０００２æèçççöø÷÷÷．（Ｄ）１０００２０００２æèçççöø÷÷÷．（７）设事件Ａ与事件Ｂ互不相容，则（　　）（Ａ）Ｐ（ＡＢ）＝０．（Ｂ）Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）．（Ｃ）Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ｂ）．（Ｄ）Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝１．（８）设随机变量Ｘ与Ｙ相互独立，且Ｘ服从标准正态分布Ｎ（０，１），Ｙ的概率分布为Ｐ｛Ｙ＝０｝＝Ｐ｛Ｙ＝１｝＝１２．记ＦＺ（ｚ）为随机变量Ｚ＝ＸＹ的分布函数，则函数ＦＺ（ｚ）的间断点个数为（　　）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）（９）ｌｉｍｘ→０ｅ－ｅｃｏｓｘ３１＋ｘ２－１＝．（１０）设ｚ＝（ｘ＋ｅｙ）ｘ，则􀆟ｚ􀆟ｘ（１，０）＝．（１１）幂级数􀰐∞ｎ＝１ｅｎ－（－１）ｎｎ２ｘｎ的收敛半径为．（１２）设某产品的需求函数为Ｑ＝Ｑ（ｐ），其对价格ｐ的弹性εｐ＝０􀆰２，则当需求量为１００００件时，价格增加１元会使产品收益增加元．（１３）设α＝（１，１，１）Ｔ，β＝（１，０，ｋ）Ｔ，若矩阵αβＴ相似于３００００００００æèçççöø÷÷÷，则ｋ＝．（１４）设Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｍ为来自二项分布总体Ｂ（ｎ，ｐ）的简单随机样本，Ｘ和Ｓ２分别为样本均值和样本方差．记统计量Ｔ＝Ｘ－Ｓ２，则Ｅ（Ｔ）＝．三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（１５）（本题满分９分）求二元函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２（２＋ｙ２）＋ｙｌｎｙ的极值．（１６）（本题满分１０分）计算不定积分∫ｌｎ(１＋１＋ｘｘ)ｄｘ（ｘ＞０）．—３　　　　—（１７）（本题满分１０分）计算二重积分∬Ｄ（ｘ－ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２≤２，ｙ≥ｘ｝．（１８）（本题满分１１分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，则存在ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）．（Ⅱ）证明：若函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０处连续，在（０，δ）（δ＞０）内可导，且ｌｉｍｘ→０＋ｆ′（ｘ）＝Ａ，则ｆ′＋（０）存在，且ｆ′＋（０）＝Ａ．（１９）（本题满分１０分）设曲线ｙ＝ｆ（ｘ），其中ｆ（ｘ）是可导函数，且ｆ（ｘ）＞０．已知曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与直线ｙ＝０，ｘ＝１及ｘ＝ｔ（ｔ＞１）所围成的曲边梯形绕ｘ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πｔ倍，求该曲线的方程．（２０）（本题满分１１分）设Ａ＝１－１－１－１１１０－４－２æèçççöø÷÷÷，　ξ１＝－１１－２æèçççöø÷÷÷．（Ⅰ）求满足Ａξ２＝ξ１，Ａ２ξ３＝ξ１的所有向量ξ２，ξ３；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ２，ξ３，证明ξ１，ξ２，ξ３线性无关．—４　　　　—（２１）（本题满分１１分）设二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ａｘ２１＋ａｘ２２＋（ａ－１）ｘ２３＋２ｘ１ｘ３－２ｘ２ｘ３．（Ⅰ）求二次型ｆ的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型ｆ的规范形为ｙ２１＋ｙ２２，求ａ的值．（２２）（本题满分１１分）设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度为ｆ（ｘ，ｙ）＝ｅ－ｘ，０＜ｙ＜ｘ，０，其他．{（Ⅰ）求条件概率密度ｆＹ｜Ｘ（ｙｘ）；（Ⅱ）求条件概率Ｐ｛Ｘ≤１Ｙ≤１｝．（２３）（本题满分１１分）袋中有１个红球、２个黑球与３个白球．现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以Ｘ，Ｙ，Ｚ分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．（Ⅰ）求Ｐ｛Ｘ＝１Ｚ＝０｝；（Ⅱ）求二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率分布．—１　　　　—２０１０年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共８小题，每小题４分，共３２分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（１）若ｌｉｍｘ→０１ｘ－１ｘ－ａæèçöø÷ｅｘéëêêùûúú＝１，则ａ等于（　　）（Ａ）０．　　　　　　　（Ｂ）１．　　　　　　　（Ｃ）２．　　　　　　　（Ｄ）３．（２）设ｙ１，ｙ２是一阶线性非齐次微分方程ｙ′＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｑ（ｘ）的两个特解，若常数λ，μ使λｙ１＋μｙ２是该方程的解，λｙ１－μｙ２是该方程对应的齐次方程的解，则（　　）（Ａ）λ＝１２，μ＝１２．（Ｂ）λ＝－１２，μ＝－１２．（Ｃ）λ＝２３，μ＝１３．（Ｄ）λ＝２３，μ＝２３．（３）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）具有二阶导数，且ｇ″（ｘ）＜０．若ｇ（ｘ０）＝ａ是ｇ（ｘ）的极值，则ｆ（ｇ（ｘ））在ｘ０处取极大值的一个充分条件是（　　）（Ａ）ｆ′（ａ）＜０．（Ｂ）ｆ′（ａ）＞０．（Ｃ）ｆ″（ａ）＜０．（Ｄ）ｆ″（ａ）＞０．（４）设ｆ（ｘ）＝ｌｎ１０ｘ，ｇ（ｘ）＝ｘ，ｈ（ｘ）＝ｅｘ１０，则当ｘ充分大时有（　　）（Ａ）ｇ（ｘ）＜ｈ（ｘ）＜ｆ（ｘ）．（Ｂ）ｈ（ｘ）＜ｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）．（Ｃ）ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）＜ｈ（ｘ）．（Ｄ）ｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）＜ｈ（ｘ）．（５）设向量组Ⅰ：α１，α２，…，αｒ可由向量组Ⅱ：β１，β２，…，βｓ线性表示．下列命题正确的是（　　）（Ａ）若向量组Ⅰ线性无关，则ｒ≤ｓ．（Ｂ）若向量组Ⅰ线性相关，则ｒ＞ｓ．（Ｃ）若向量组Ⅱ线性无关，则ｒ≤ｓ．（Ｄ）若向量组Ⅱ线性相关，则ｒ＞ｓ．（６）设Ａ为４阶实对称矩阵，且Ａ２＋Ａ＝Ｏ．若Ａ的秩为３，则Ａ相似于（　　）（Ａ）１１１０æèççççöø÷÷÷÷．（Ｂ）１１－１０æèççççöø÷÷÷÷．（Ｃ）１－１－１０æèççççöø÷÷÷÷．（Ｄ）－１－１－１０æèççççöø÷÷÷÷．—２　　　　—（７）设随机变量Ｘ的分布函数Ｆ（ｘ）＝ìîíïïïïï０，　　ｘ＜０，１２，　　０≤ｘ＜１，１－ｅ－ｘ，ｘ≥１，则Ｐ｛Ｘ＝１｝＝（　　）（Ａ）０．（Ｂ）１２．（Ｃ）１２－ｅ－１．（Ｄ）１－ｅ－１．（８）设ｆ１（ｘ）为标准正态分布的概率密度，ｆ２（ｘ）为［－１，３］上均匀分布的概率密度，若ｆ（ｘ）＝ａｆ１（ｘ），ｘ≤０，ｂｆ２（ｘ），ｘ＞０　{（ａ＞０，ｂ＞０）为概率密度，则ａ，ｂ应满足（　　）（Ａ）２ａ＋３ｂ＝４．（Ｂ）３ａ＋２ｂ＝４．（Ｃ）ａ＋ｂ＝１．（Ｄ）ａ＋ｂ＝２．二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）（９）设可导函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程∫ｘ＋ｙ０ｅ－ｔ２ｄｔ＝∫ｘ０ｘｓｉｎｔ２ｄｔ确定，则ｄｙｄｘｘ＝０＝．（１０）设位于曲线ｙ＝１ｘ（１＋ｌｎ２ｘ）（ｅ≤ｘ＜＋∞）下方，ｘ轴上方的无界区域为Ｇ，则Ｇ绕ｘ轴旋转一周所得空间区域的体积为．（１１）设某商品的收益函数为Ｒ（ｐ），收益弹性为１＋ｐ３，其中ｐ为价格，且Ｒ（１）＝１，则Ｒ（ｐ）＝．（１２）若曲线ｙ＝ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋１有拐点（－１，０），则ｂ＝．（１３）设Ａ，Ｂ为３阶矩阵，且Ａ＝３，Ｂ＝２，Ａ－１＋Ｂ＝２，则Ａ＋Ｂ－１＝．（１４）设Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ是来自总体Ｎ（μ，σ２）（σ＞０）的简单随机样本．记统计量Ｔ＝１ｎ􀰐ｎｉ＝１Ｘ２ｉ，则Ｅ（Ｔ）＝．三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（１５）（本题满分１０分）求极限ｌｉｍｘ→＋∞（ｘ１ｘ－１）１ｌｎｘ．—３　　　　—（１６）（本题满分１０分）计算二重积分∬Ｄ（ｘ＋ｙ）３ｄｘｄｙ，其中Ｄ由曲线ｘ＝１＋ｙ２与直线ｘ＋２ｙ＝０及ｘ－２ｙ＝０围成．（１７）（本题满分１０分）求函数ｕ＝ｘｙ＋２ｙｚ在约束条件ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１０下的最大值和最小值．（１８）（本题满分１０分）（Ⅰ）比较∫１０ｌｎｔ［ｌｎ（１＋ｔ）］ｎｄｔ与∫１０ｔｎｌｎｔｄｔ（ｎ＝１，２，…）的大小，说明理由；（Ⅱ）记ｕｎ＝∫１０ｌｎｔ［ｌｎ（１＋ｔ）］ｎｄｔ（ｎ＝１，２，…），求极限ｌｉｍｎ→∞ｕｎ．（１９）（本题满分１０分）设函数ｆ（ｘ）在［０，３］上连续，在（０，３）内存在二阶导数，且２ｆ（０）＝∫２０ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（２）＋ｆ（３）．（Ⅰ）证明存在η∈（０，２），使ｆ（η）＝ｆ（０）；（Ⅱ）证明存在ξ∈（０，３），使ｆ″（ξ）＝０．—４　　　　—（２０）（本题满分１１分）设Ａ＝λ１１０λ－１０１１λæèçççöø÷÷÷，ｂ＝ａ１１æèçççöø÷÷÷．已知线性方程组Ａｘ＝ｂ存在两个不同的解．（Ⅰ）求λ，ａ；（Ⅱ）求方程组Ａｘ＝ｂ的通解．（２１）（本题满分１１分）设Ａ＝０－１４－１３ａ４ａ０æèçççöø÷÷÷，正交矩阵Ｑ使ＱＴＡＱ为对角矩阵，若Ｑ的第１列为１６（１，２，１）Ｔ，求ａ，Ｑ．（２２）（本题满分１１分）设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度为ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａｅ－２ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２，　－∞＜ｘ＜＋∞，　－∞＜ｙ＜＋∞，求常数Ａ及条件概率密度ｆＹ｜Ｘ（ｙｘ）．（２３）（本题满分１１分）箱中装有６个球，其中红、白、黑球的个数分别为１，２，３个．现从箱中随机地取出２个球，记Ｘ为取出的红球个数，Ｙ为取出的白球个数．（Ⅰ）求随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率分布；（Ⅱ）求Ｃｏｖ（Ｘ，Ｙ）．—１　　　　—２０１１年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共８小题，每小题４分，共３２分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（１）已知当ｘ→０时，函数ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎｘ－ｓｉｎ３ｘ与ｃｘｋ是等价无穷小量，则（　　）（Ａ）ｋ＝１，ｃ＝４．　（Ｂ）ｋ＝１，ｃ＝－４．　（Ｃ）ｋ＝３，ｃ＝４．　（Ｄ）ｋ＝３，ｃ＝－４．（２）设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，且ｆ（０）＝０，则ｌｉｍｘ→０ｘ２ｆ（ｘ）－２ｆ（ｘ３）ｘ３＝（　　）（Ａ）－２ｆ′（０）．（Ｂ）－ｆ′（０）．（Ｃ）ｆ′（０）．（Ｄ）０．（３）设｛ｕｎ｝是数列，则下列命题正确的是（　　）（Ａ）若􀰐∞ｎ＝１ｕｎ收敛，则􀰐∞ｎ＝１（ｕ２ｎ－１＋ｕ２ｎ）收敛．（Ｂ）若􀰐∞ｎ＝１（ｕ２ｎ－１＋ｕ２ｎ）收敛，则􀰐∞ｎ＝１ｕｎ收敛．（Ｃ）若􀰐∞ｎ＝１ｕｎ收敛，则􀰐∞ｎ＝１（ｕ２ｎ－１－ｕ２ｎ）收敛．（Ｄ）若􀰐∞ｎ＝１（ｕ２ｎ－１－ｕ２ｎ）收敛，则􀰐∞ｎ＝１ｕｎ收敛．（４）设Ｉ＝∫π４０ｌｎ（ｓｉｎｘ）ｄｘ，Ｊ＝∫π４０ｌｎ（ｃｏｔｘ）ｄｘ，Ｋ＝∫π４０ｌｎ（ｃｏｓｘ）ｄｘ，则Ｉ，Ｊ，Ｋ的大小关系为（　　）（Ａ）Ｉ＜Ｊ＜Ｋ．（Ｂ）Ｉ＜Ｋ＜Ｊ．（Ｃ）Ｊ＜Ｉ＜Ｋ．（Ｄ）Ｋ＜Ｊ＜Ｉ．（５）设Ａ为３阶矩阵，将Ａ的第２列加到第１列得矩阵Ｂ，再交换Ｂ的第２行与第３行得单位矩阵．记Ｐ１＝１００１１０００１æèçççöø÷÷÷，Ｐ２＝１００００１０１０æèçççö