离心率问题的解题策略及方法

离心率问题的解决策略及方法河北省正定县第一中学-----赵志军离心率是圆锥曲线的一个重要知识点，同时也是也是圆锥曲线的重要几何性质，是刻画椭圆扁平程度，双曲线形状扁狭还是开阔的一种量度，纵观近几年高考，求离心率的值或范围的问题在高考中屡见不鲜,其表现是：题型多样，解法灵活.本文介绍一些常用的方法，供同行参考。一．定义法利用圆锥曲线的统一定义，知离心率e是动点到焦点的距离与到其准线的距离之比。故可以把一二定义结合灵活解决一些问题。例1.设21,FF是离心率为e的双曲线12222byax的左右焦点，若在双曲线的左支上存在点P，使1PF是2PF与点P到左准线的距离d的等比中项，求双曲线的离心率e的取值范围解析：1PF是2PF与d的等比中项等价于edPFPFPF112,edPF1(1),dePF22(2),又因为1PF-2PF=2a,aedde22,eead22eea22caa2(左支上的点到准线的最小距离为caa2）0122ee（e1),解得1e12此题也可这样来解：由双曲线的第二定义，知ePFPFPF121d，即12PFePF(1)又由双曲线的第一定义，得a212PFPF(2),由（1）（2）解得，1a21ePF122eaePF.在21FPF中，,2121FFPFPF当21,,FPF三点共线时，2121FFPFPF.ceaeea21212（3）)3(,ace式可化为0122ee解得2121e，1e，，211e即双曲线的离心率e的取值范围是.211e点评：本题的两种解法巧妙的将双曲线的第一与第二定义结合起来，通过构造离心率e的不等式，从而顺利实现求解目的.二．公式法圆锥曲线离心率的公式为ace例2.若双曲线的渐近线方程为y=x3,则它的离心率可能是A.3B.2C.332或2D.3或332解析：由题意可知双曲线的焦点不确定，所以应有3ab（1），或31ab（2），由（1）得12abac=2，由（2）的12abac=332，故选C例3，已知21,FF是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若2ABF是正三角形，则这个椭圆的离心率是A.32B.33C.22D.23解析由椭圆的定义可知,aAFAF221,2ABF是正三角形，122AFAF,aAF342,从而cos030=342ac,33e,选B点评：以上两例将求离心率问题转化为求a.b.C关系的问题，其中例2运用了整体思想将ab看做一个整体,利用离心率e与ab的关系.三．函数法例4.若直线l过双曲线12222byax（a0,b0)的右焦点，斜率k=2且它与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率的取值范围是A.2eB.31eC.51eD.5e解：双曲线的一条渐近线xaby要满足题意须2ab，由51222222ababae所以5e，选D例5.（2004年全国.21）设双曲线C:12222byax（a0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B,求双曲线C的离心率e的取值范围。解：由C与l交于两个不同的点故知方程组11222yaxyx有两个不同的实数解，消去y并整理得02212222axaxa所以0184224aaa且012a解得,20a且1a,因为双曲线的离心率e=aa21=112a,又,20a1a，所以26e，且2e，即离心率的取值范围为,22,26。点评:例4将离心率e构造成了关于a为自变量的一种函数，特别需注意a的范围否则前功尽弃。例5可把ab看做一个整体仍然是函数问题，注意整体思想。四．方程法例6.已知双曲线12222byax，一直线经过A（a,0),B(0,b)两点，若原点到直线AB的距离为2221ba，则此双曲线的离心率是()A.2B.3C2D2或2解析：在OAB中，AB=22ba，由面积相等22ba×222ba=ab得2222acac222222aacac1222ee，解之得2e=2，2e故选C点评：求离心率的值常通过构造关于a与c的齐次等式，并进一步转化为离心率e的方程，只需解e的方程即可.五．向量法例7.双曲线12222aybx的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是A.2B.3C.2D.23解析在双曲线的一条渐近线上取点ab,，由对称性知'Aab,必在另一条渐近线上，记abOA,，.,'abOA'OAOA,所以'OAOA=0，所以022ab，即22ab，222222222aaabaace=2，2e，选C点评：向量常与解析几何结合，但向量主要作为工具来使用，向量的运算比较简单，应树立应用向量解题的意识.六．比例性质法在椭圆或双曲线含焦点的三角形中,若已知两个角,可用正弦定理及比例性质来求离心率。例8.已知M为椭圆上一点,F1,F2是其两个焦点,且∠MF1F2=2,∠MF2F1=（0）则椭圆的离心率为()(A)1-2sin(B)1-sin2(C)1-cos2(D)2cos-1解由已知及正弦定理,得|3sin2sin2121FFMFMF，由比例性质，得3sin2sinsin2121FFMFMF，所以2sinsin3sin2121MFMFFFe1cos2cos21sin43)cos21(sinsin4sin323故选D工作单位：河北省正定县第一中学邮编：050800姓名：赵志军联系电话：[phone]电子信箱:[e-mail]