第五章--弯曲内力

第五章弯曲内力Page1上一讲回顾（8）•扭转静不定问题（拉压与扭转问题对比）•闭口与开口薄壁杆的概念2T•闭口薄壁杆的应力与变形maxmin2TtTlGI24tIds202TR圆：302TlGR圆：#非圆截面杆扭转tTlGImaxtTW,ttWI（查表）#开口薄壁杆扭转313niiiTlGhmaxmax313niiiTh第五章弯曲内力Page2补充：全国周培源大学生力学竞赛2000年赛题MMLDd材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强p，摩擦系数m。求(1)能施加的极限外力偶Mu；(2)设，画轴的扭矩图。uMM23第五章弯曲内力Page3补充：全国周培源大学生力学竞赛2004年赛题MMLDd材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强p，摩擦系数m。求(1)能施加的极限外力偶Mu；解(1)：当两轴所有接触面达到临界滑动状态时，外力偶达到极限值Mu。(2)设，画轴的扭矩图。uMM23/uMpdLd2muMdpL212mMd212uMmdpLm第五章弯曲内力Page4(2)设，画轴的扭矩图。uMM23MMLDdx1x2uMdpL212m(1)问题（2）讨论：(1)如果牢固连接，两轴之间是否有切向内力？(2)是否有应力集中？(3)讨论随M增大，讨论两轴相对滑动发生的过程。(4)滑动与未滑动交界处变形协调条件：ieMLDx1x2mmMduMmLm第五章弯曲内力Page5(2)设，画轴的扭矩图。uMM23解：设左端滑移段长x1MMLDdx1x2iuuxTMML123在x=x1处，两轴扭矩11euxTmxMLMduMmLmMLDx1x2mm第五章弯曲内力Page6(2)设，画轴的扭矩图。uMM23MMLDdx1x2iuuxTMML123在x=x1处euxTML1()()()ieTxTxdDd114443232()DdxLD441423()iudTxMD41423()()iexx11由()()iepipeTxTxGIGI11第五章弯曲内力Page7材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强p，摩擦系数m。(2)设，画轴的扭矩图。uMM23MMLDdx1x2euuxTMML223在x=x2处iuxTML2dxLD42423()iudTxMD42423()()iexx22由()()()ieTxTxdDd224443232()()iepipeTxTxGIGI22第五章弯曲内力Page8材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强p，摩擦系数m。(2)设，画轴的扭矩图。uMM23MMLDdx1x2dLD4423()DdLD44423L3TOx()DdxLD441423()iudTxMD41423dxLD42423()iudTxMD42423udMD4423uM23＋MduMmLm第五章弯曲内力Page9§5-2梁的约束与类型第五章弯曲内力§5-1引言§5-3剪力与弯矩§5-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图§5-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系§5-6刚架与曲梁的内力第五章弯曲内力Page10剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系刚架与曲梁的弯曲内力本章主要研究直梁弯曲内力第五章弯曲内力Page11§5-1引言上图：水闸立柱下图：跳板•弯曲实例第五章弯曲内力Page12哪些构件承受弯曲载荷？第五章弯曲内力Page13•弯曲的定义、力学特征与计算简图上图：弯曲构件下图：计算简图外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴变形特征：杆轴由直线变为曲线弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲以弯曲为主要变形的杆件称为梁。计算简图通常以轴线代表梁第五章弯曲内力Page14§5-2梁的约束与类型•主要约束形式与反力固定铰支座：支反力FRx与FRy可动铰支座：垂直于支承平面的支反力FR固定端：支反力FRx,FRy与矩为M的支反力偶第五章弯曲内力Page15可动铰支座：FRyFRy固定铰支座：FRyFRx固定端：FRxFRyM第五章弯曲内力Page16FFFF简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁（Ch7研究）•常见静定梁•静不定梁第五章弯曲内力Page17简支梁：悬臂梁：外伸梁：第五章弯曲内力Page18力学模型讨论刚性平台abABC例：弹性梁单位长度重q,置于光滑刚性平台上，外伸段长a，试确定梁拱起部分长度。求解关键：如何建立问题的力学模型？BqabCAB点：光滑接触，限制铅垂位移，抽象为：C点右侧：位移转角为零，抽象为：活动铰链固支端自重抽象为：均布载荷第五章弯曲内力Page19刚性平台abABCAqabCB力学模型讨论（续）铰支-固定梁是否是最优力学模型？BqabCA分析：C端位移为零，右侧不变形，弯矩为零，可抽象为固定铰对比：下图力学模型大大减少了计算工作量第五章弯曲内力Page20§5-3剪力与弯矩FS－剪力M－弯矩•梁的内力分析方法：截面法剪力－作用线沿所切横截面的内力分量弯矩－矢量沿所切横截面的内力偶矩分量S1AyFFF()1AyMFbFba由梁左段平衡求得，在m-m截面：注意：①设正法。②在横力载荷下，截面不仅有剪力，还有弯矩第五章弯曲内力Page21剪力：使微段有沿顺时针方向转动趋势为正弯矩：使微段弯曲呈下凹形为正弯矩符号另一定义：使横截面顶部受压为正•剪力与弯矩的符号规定第五章弯曲内力Page22假想地将梁切开，并任选一段为研究对象画所选梁段的受力图，FS与M宜均设为正由SFy=0计算FS由SMC=0计算M，C为截面形心•小结：任一指定截面剪力与弯矩的计算思考：均布载荷、集中载荷、集中力偶两侧剪力是否相等？弯矩是否相等？第五章弯曲内力Page23§5-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。•剪力、弯矩图：表示剪力与弯矩沿梁轴变化的图线。bFMxl11aFMxl22S1bFFl,S2aFFl,AC段(0x1a)：CB段(0x2b)：•方法：利用截面法，根据平衡关系，分段建立剪力、弯矩方程（函数），然后画其函数图象。第五章弯曲内力Page24lABqFAyFByqFAyxFSM例5-1：试建立图示简支梁的剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图。解：1、求支反力，由梁的平衡：FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐标轴Ox轴3、在截面x处截取左段为研究对象，根据平衡条件：FS=FAy-qx=q(l-2x)/2M=FAyx-(qx2/2)=qx(l-x)/20xl第五章弯曲内力Page25FS=q(l-2x)/2M==qx(l-x)/20xllABqFAyFByxoql/2+_+ql2/84、根据剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图注意事项：•载荷、剪力、弯矩图对齐•标注段值、极值、正负号•按工程图要求，请用工具作图FS:xFSOM:xMOql/2第五章弯曲内力Page26Aq4RFqaBCa3aAyFByF()a1x2x43qa53qaqa()csF212qa289qa()dMRFqa4AByMFqa30,4AM0ByFqa83解：1、计算支座反力，作用于AC梁中点。例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图43qa1SF1x1M2SF2x2M22RFqx()b11RFqxsFqaqx1143Mqaxqx21114132xa103AB段内力sFqx22Mqx22212xa20BC段内力第五章弯曲内力Page27例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图qqa2aaABCx可以不求支反力建立坐标建立剪力弯矩方程：FS=-qx(0xa)M=-qx2/2(0xa)FS=-qa(ax2a)M=qa2-qa(x-a/2)(ax2a)FS:xFS_qaM:xM+qa2/2__qa2/2qa2/2$在集中力偶作用处(包括支座)弯矩有突变第五章弯曲内力Page28§5-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系一、微积分关系的推导取梁一长dx微段，研究它的平衡(a)0)d(d0SSSFFxqF,FySdddd0(b)CMxMMqxFxM0,2SddFqxSddMFx2ddMqx2q向上为正x向右为正注意：积分关系：SSFqdxMFdx,第五章弯曲内力Page29二、微积分关系的几何意义（用于快速画剪力弯矩图）SddFqxSddMFx2ddMqx21.微分关系确定线形（Fs斜率=q，M斜率=Fs)q0，Fs上斜；q0，Fs下斜；q=0，Fs水平；q=常数，Fs直线。xFSOxFSO-+qaqaqaqa第五章弯曲内力Page30二、微积分关系的几何意义（用于快速画剪力弯矩图）SddFqxSddMFx2ddMqx21.微分关系确定线形（续）（Fs斜率=q，M斜率=Fs)xFSOxFSO-+Fs0，M上斜；Fs0，M下斜；Fs=0，M水平。xMO+FaFaFxFSOF-FaFa第五章弯曲内力Page312.积分关系确定各段起点、终点值（面积关系）。xMO+xFSO+FSSFqdxMFdx,Faq=F/a2FFa32依据：问题：弯矩图凹凸性如何确定？第五章弯曲内力Page32q=F/aaqaq0，M凹；q0，M凸；q=0，M直线。xMO+Fa2xMO_Fa23.载荷q的符号确定M图的凹凸性。（喻：打伞）2ddMqx2依据：第五章弯曲内力Page33+三、集中载荷情形M右qF左M左F右dxFFs左+q(x)dx+F=Fs右M左+Fs左dx+Fdx/2+q(x)dx2/2=M右1.集中力处（向上为正）Fs左+F=Fs右，M左=M右xFSO+xMOFaF结论：在集中力处，剪力图沿集中力方向跳跃（突变）跟着箭头走弯矩图连续Fa第五章弯曲内力Page34M2.集中力偶处（顺时针为正）Fs左+q(x)dx=Fs右M左+Fs左dx+M+q(x)dx2/2=M右Fs左=Fs右，M左+M=M右结论：集中力偶处，剪力图连续弯矩图跳跃，顺时针力偶向上，逆时针力偶向下跳。xFSOxMO_+_M/aCAaBa2MM/aM/aMqF左M左F右M右Mdx第五章弯曲内力Page35作业(利用剪力弯矩方程作图）Ⅱ版：5-1c,d，5-2c,e,fⅢ版：同上第五章弯曲内力Page36上一讲回顾（9）•梁的外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴•梁的变形特征：杆轴由直线变为曲线•梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，以弯曲为主要变形的杆件称为梁。计算简图通常以轴线代表梁•剪力－作用线沿所切横截面的内力分量。符号：使微段有沿顺时针方向转动趋势为正。•弯矩－矢量沿所切横截面的内力偶矩分量。符号：使微段弯曲呈下凹形为正。•剪力、弯矩图：表示剪力与弯矩沿梁轴变化的图线。•剪力、弯矩方程第五章弯曲内力Page37M图:斜率Fs=常数，M直线;Fs0,上斜；Fs0,下斜。集中力偶Mo处,M图按Mo大小跳,Mo顺时针上逆下。各段起终点M值=Fs图左边面积+q图集中力偶值。Fs=0处,M图极值点(或拐点)q0处,M图凹;q0处,M图凸(喻:雨伞)利用微积分关系画剪力弯矩图小结Fs图:斜率q=常数,Fs直线;q0,上斜;q0,下斜集中力F处,Fs按F大小,方向跳各段起终点Fs值=q图左边面积+集中力值(含支反力)校核:两图右边回零点.•线形看微分，段值看积分。第五章弯曲内力Page38四、弯矩图快速校核xFSO+xMO+FM0+FaFaM0FaM0FM0+FaM0请从剪力、弯矩图的绘制中发现校核的简便有效的规律。规律：剪力、弯矩图的图线从坐标轴开始，最后回到坐标轴。力学依据：平衡，合力和合力偶为零。第五章弯曲内力Page39例：利用微积分关系画剪力弯矩图ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：