高一最全的集合与函数知识点总结

1数学是科学的大门和钥匙.—培根(AdvancedMathematics)注：该课件针对同济大学应用数学系编著的《微积分》（上、下）（面向21世纪课程教材）21.集合(set)概念与记号具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该映射与函数一、集合集合元素(简称元)(集)元素(element).集合的通常以大写字母,,,MBA等表示集合,以小写字母等表示集合的元素.,,,mba;AaAa,的元素是若Aa否则记记作.Aa,Aa属于则说或3映射与函数集合分类有限集无限集只含有限个元素;不是有限集的集合.列举法表示集合方法有两种描述法把集合的全部元素一一列出来,例考察由下列元素9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,A可以用列举法将其表示成9,8,7,6,5,4,3,2,1,0列举法有很大的局限性.组成的集合A}{外加花括号.有限个元素例如，xOy平面上适合方程的点(x,y)的全体组成的集合，无法用列举法表示221xy4xPx具有性质映射与函数如:由不超过1010的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是很多纸张!根本无法一一罗列出来.得用很多时间,不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质P的办法来表示集合,就是描述法.}{M花括号中竖线前的x而竖线后x是M中元素的通用符号,则是x所具有的性质.Px具有性质可用列举法表示为}.032{2xxx0322xx的根组成的集合也可用描述法表示为,3,1例由方程5映射与函数注对几个常用的数集规定记号如下数集的字母的数集内排除0的集.“”“”数集内排除0与负数的集.全体非负整数即自然数的集合N};,,,2,1,0{n即N,全体正整数的集合为N+};,,,2,1{n全体整数的集合记作Z,即Z};,,,2,1,0,1,2,,,{nn右上角标上:6映射与函数全体有理数的集合即Q;qpZ,pN+q互质与且qp全体实数的集合R＊为排除0的实数集,R+为全体正实数的集.记作Q,记作R,全体复数的集合记作C,即CR,}1,{2ibabia7,Ax若的是BA两个集合,2,1A.BA中的每一个元素都属于一般地,BA若.BA},2,1{A如},023{2xxxB.BA则,Bx则必映射与函数子集则称集合A与B相等,4,3,2,1BBA记作则称2.集合(set)的关系及集合的运算(1)集合的关系子集,(读作A包含于B)或AB(读作B包含A).集合相等,AB且记作8映射与函数).(记作如}01,{2xRxx空集.不含任何元素的集合称为,BABA且若则称的是BA真子集记作A.B如NZQR.真子集,空集规定空集为任何集合的子集.今后在提到一个集合时,一般都是如不加特别声明,非空集.9映射与函数2.集合(set)的关系及集合的运算集合的基本运算有三种:并集,交集,差集.即};{BxAxx或记作设A,B是两个集合,由所有属于A称为A与B的并集,ABA∪BA∪B,(2)集合的运算于B元素或者属组成的集合,10映射与函数称为A与B的记作即};{BxAxx且交集,由所有既属于A由所有属于A称为A与B的差集,记作即,BABA}.{BxAxx且又属于B元素ABAB集合的基本运算有三种:并,交,差.A∩BA∩B,组成的集合,而不属于B的元素组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集推广并与交.11映射与函数注研究某个问题时所考虑的对象的全体记作.CA例如,,6,5,4,3,4,3,2,1BA设则BA.2,1,6,5,4,3,2,1,4,3余集或补集.A∪BA∩B并用I表示,称为全集或基本集,并把差积特别称为A的AI例如,在实数集R中,集合}10{xxA的余集CA10xx或}.{x123.集合(set)的运算法则映射与函数CBA,,设为任意三个集合,则下列法则成立:(1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)对偶律(A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪BC;13映射与函数(5)幂等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=A;=A,A∩=.4.直积(乘积集或笛卡儿乘积)法国数学家、哲学家(Descartes1596~1650年)设A,B是两个集合,则称}{BA),(yxAxBy且为A,B的直积.如,),1,1(ABA则),({yx}10,11yxOxy111],1,0[B又如,即为xOy面上}R,),({RRyxyx全体点的集合,RR常记作,R2即R.RR2xyOABBA145.区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的全体实数..ba且}{bxax称为),(ba记作}{bxax称为],[ba记作这两个实数叫做区间的端点.,都是实数和设ba映射与函数开区间,闭区间,xOabxOab15}{bxax}{bxax称为),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxb有限区间无限区间映射与函数半开半闭区间.全体实数的集合R也可记作),,(是无限区间.xOaxOb16映射与函数区间长度的定义两端点间的距离(线段的长度)称为区间的今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、称它为“区间”,常用I表示.长度.无限区间的场合,注端点、简单地174.逻辑符号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号.、“”表示“任取”,或“任意给定”.“”表示“存在”,“至少存在一个”,或“能够找到”.如实数的阿基米德(Archmed)公理是这样叙述的:任意给定两个正的实数a,b,都存在一个自然数n,.bna使得用逻辑符号,和将阿基米德公理改写:.bna使得,0,ba,NnAny(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写映射与函数Exist(存在)的字头E的倒写18符号“”表示“蕴含”,或“推出”.符号“”表示“等价”,或“充分必要”.5.绝对值(absolutevalue)00aaaaa)0(a运算性质baabbababababa)0(aaxaxa)0(aax.axax或绝对值不等式映射与函数19映射与函数二、映射1.映射概念(mapping)定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对通过f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映(或算子),记作:f并称y为x(在映射f下)的像,并记作),(xf即),(xfy,YXx称为y的原像.,Xx射定义域即,fD.XDf记20对,Xx元素x的像y是唯一的;映射与函数而对,fRy元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域fR是Y的一个子集,,YRf即不一定.YRf(2)注(1)集合X,即定义域;XDf集合Y,即值域的范围:;YRf对应法则f,使对,Xx有唯一确定的)(xfy与之对应.①②③三个要素:构成一个映射必须具备以下21映射与函数设映射:f.YX,YRf若值域即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f是满射.若,21xx必有),()(21xfxf则称f是单射.若映射f则称f是一一映射(或双射).2.几类重要映射又是单射,,,21Xxx既是满射,22映射与函数例设),,(1X,2,22X),,(1Y].1,1[2Y,:111YXf,:212YXf,:123YXf,:224YXf,sin)(xxfi,1i对应关系:,2,34既非满射,又非单射;满射,非单射;单射,非满射;满射,单射,即为一一映射.对定义域内的任一x,23映射与函数(1)如图,],1,0[X设}.,),({XxxyyxYxOyxyx1令由X到Y的对应关系为:fXx,),(Yxx则f是一个从X到Y的映射.满射,单射,即为一一映射.(2)},,,,2,1{nX设}.,2,,4,2{nY令nn2),,2,1(n则f是一个从X到Y的映射.:f满射,单射,即为一一映射.24映射又称为算子。根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称非空集X到数集Y的映射称为泛函非空集X到它自身的映射称为X上的变换从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数25映射与函数2.逆映射与复合映射设有单射,:YXf则由定义,,fRy对有唯一的,Xx.)(yxf适合于是,可定义一个从,:XRgfXRf到的新映射g,即,fRy对规定,)(xyg这x满足.)(yxf这个映射g称为f的逆映射,记作,1fg其定义域,fR值域1fR,21xx必有),()(21xfxf则称f是单射.,,21Xxx若1fD.X26映射与函数设有两个映射:g:f其中2.逆映射与复合映射Xx显然.21YY由fg和它将映成这个对应法则是从X到Z的一个映射,此映射称为由g和f构成的复合映射,记作,gf即:gf,ZX))((xgf,1YX,2ZY对应法则,)].([xgffgDRgRg的值域的定义域f][f)(xg.Z可确定出从X到Z的一个,Xx对27映射与函数例设有映射],1,1[:Rg,sin)(xxgu和映射],1,0[]1,1[:f2()1,yfuu则映射g和f构成的复合映射:gf],1,0[R,Rx对有))((xgf][f)(fxsin)(xg21sincosxx281.常量(constantquantity)与变量(variable)注三、函数(function)而是相对“过程”而言的.映射与函数常量;变量.在某过程中数值保持不变的量称为而在过程中数值变化的量称为一个量是常量还是变量,不是绝对的,常量与变量的表示方法:在高等数学中,通常用字母a,b,c等表示常量,用字母x,y,t等表示变量.29初等数学,就其总体来说是进入变量的数学——微积分.映射与函数“常量的数学”,从现在开始,30映射与函数定义设数集,RD则称映射RDf:为定义在D上的函数,通常简记为,Dx自变量因变量定义域(domain)),(xfy定义中,,Dx如果对按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,),(xfy记作函数关系fD记D)(DfRf函数值全体组成的集合称为)(xfrange记作fR),(Df或即.}),({Dxxfyy函数f的值域,2.函数概念31映射与函数注)(xff和记号含义的区别.:f自变量x和因变量y之间的对应法则;:)(xf与自变量x对应的函数值;:),(),(DxxfyDxxf或定义在D上的函数,应理解为由它所确定的函数f.(1)(2)函数的记号:除常用的f外,可任意选取,如、、Fg相应地,函数可记作:),(xgy等,)(),(xyxFy等,也可记作:y)(xy在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时.32映射与函数(3)对应的函数值y总是唯一的,否则称为如xy是多值函数,它的两个单值支是:,xy单值函数,多值函数.约定:.xy今后无特别说明时,函数是指单值函数.,Dx对这种函数称为(4)构成函数的xyxylg2lg2、是两个不同的函数.(因为定义域不同).如与对应法则f.定义域fD两个要素:33函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即简称函数表示法的)()()(fff).(,1,0,2)1()(xfxxxxxfxf求其中设1111)(xxxxf答案表