求线面角的三种常见思路方法

求线面角的三种常见思路方法舒云水本文以2009年湖南卷理18题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒如图1，在正三棱柱111ABCABC中，12ABAA，点D是11AB的中点，点E在11AC上，且DEAE⊥．（I）证明：平面ADE平面11ACCA；（II）求直线AD和平面1ABC所成角的正弦值．（Ⅰ）证明略．下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒思路1：直接作出线面角求解﹒分析：因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点D在特殊位置上——线段11BA的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图2，取AB的中点F，连结DF，1DC，FC1，则面1DFC面1ABC，过D作FCDH1于H，则DH面1ABC，连结AH，则HAD是AD和平面1ABC所成的角﹒解法1如图2，设F是AB的中点，连结DF，1DC，1CF．由正三棱柱111ABCABC的性质及D是11AB的中点知，111ABCD⊥，11ABDF⊥．又1CDDFD，所以11AB⊥平面1CDF．而11ABAB∥，所以AB⊥平面1CDF．又AB平面1ABC，故平面1ABC⊥平面1CDF．过点D作DH垂直1CF于点H，则DH⊥平面1ABC．连结AH，则HAD是直线AD和平面1ABC所成的角．由已知12ABAA，不妨设12AA，则2AB，2DF，13DC，15CF，2211ADAAAD3，11·233055DFDCDHCF．所以10sin5DHHADAD．即直线AD和平面1ABC所成角的正弦值为105．思路2：用等体积法求出点D到面1ABC的距离h，ADh为所求线面角的正弦值．分析如图3，连结DC1，BD，即得四棱锥1ABCD．用等体积法，即DABCABCDVV11，容易求出点D到平面1ABC的距离h，ADh为所求线面角的正弦值．解法2：如图3，连结DC1，BD．因为平面111CBA平面1AB，DC111BA，所以DC1平面1AB．不妨设12AA，则2AB，13DC，611BCAC，BDAD=3.易求2ADBS，51ABCS．设D在平面1ABC内的射影为H，hDH，连结AH，则HAD是直线AD和平面1ABC所成的角．因为DABCABCDVV11，所以有ABDABCSDCSh131311，65h，530h．所以10sin5DHHADAD．即直线AD和平面1ABC所成角的正弦值为105．思路3：坐标向量法．解法3如图4，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设12AA，则2AB，相关各点的坐标分别是(010)A，，，(300)B，，，1(012)C，，，31222D，，．易知AB=（3，1，0），1AC=（0，2，2），AD=31222，，．设平面1ABC的一个法向量为n（x，y，z），则有130220.nABxynACyz·，·解得33xy，2zy．故可取(136)n，，．所以cos||||nADnADnAD·，·23105103．由此即知，直线AD和平面1ABC所成角的正弦值为105．评析：上题图形比较特殊，容易作出线面角，三种方法中解法1解法最简洁，解法1是首选．上题容易建立空间直角坐标系，容易求点的坐标，解法3也是不错的选择．方法2相对来说计算稍复杂一些，是最后的选择．下面对上题的“Ⅱ小题”作两种变式，并对三种解法作比较评析．变式1：如图5，将题设条件“点D是11AB的中点”改为“点D是棱11AB上一点，11141BADA”，其他不变．解法1：如图6，分别取11CA，AC的中点M，N，设MN与1AC交与点G，在AB上取点F，使ABAF41，连结DF，FN，FG．易证ABFN，ABDF，又FDFFN，所以AB平面MNFD，又AB平面1ABC，所以平面MNFD平面1ABC，过D作FGDH于H，则DH平面1ABC，连结AH，则HAD是直线AD和平面1ABC所成的角．不妨设12AA，则2AB，2DF，22211CCGN，22AFANFN23411，25432122FNGNGF，234122121DAAAAD．510sinGFGNGNF，5155101cos)90sin(sin2GFNGFNDFH．5305152sinDFHDFDH．230sin15DHHADAD．即直线AD和平面1ABC所成角的正弦值为23015．解法2：如图7，连结BD，取11BA的中点F，连结FC1，则FC111BA，FC1平面DAB．不妨设12AA，则2AB，31FC，232121DAAAAD．易求2ADBS，51ABCS．设D在平面1ABC内的射影为H，hDH，连结AH，则HAD是直线AD和平面1ABC所成的角．因为DABCABCDVV11，所以有ABDABCSFCSh131311，65h，530h．所以230sin15DHHADAD．即直线AD和平面1ABC所成角的正弦值为23015．解法3：如图8，同原题解法3建立空间直角坐标系，设12AA，点A，B，1C，AB，1AC及平面1ABC的法向量n的坐标同前面解法3．不同的是：33244D，，，AD=31244，，．所以cos||||nADnADnAD·，·23230315102．由此即知，直线AD和平面1ABC所成角的正弦值为23015．评析：与原题解法1比较，变式1的解法1的作图与运算明显要复杂一些．比较变式1的三种解法，解法2和解法3比解法1要简单一些，解法1是最后的选择．变式2：原题题设不变，将结论改为“求直线AE和平面1ABC所成角的正弦值”．解法1：点E不是特殊点，它在平面1ABC内的射影不好定位．可利用垂面法，作出点E在平面1ABC内的射影．如图9，过E作1ACEF于F，在平面1ABC内过F作1ACFG交1BC于G，连结EG，则1AC平面EFG，又1AC平面1ABC，所以平面EFG平面1ABC．再过E作EHFG于H，则EH平面1ABC，连结AH，则HAE是直线AE和平面1ABC所成的角．这样虽然作出了线面角，但要求出EH运算很复杂，决定放弃此法．解法2：如图10，不妨设12AA，则2AB，232121EAAAAE，212111DAEA，231EC．取AC的中点F，连结BF，易知BF平面1AEC，3BF．易求4231AECS，51ABCS．设E在平面1ABC内的射影为H，hEH，连结AH，则HAE是直线AE和平面1ABC所成的角．因为11AECBABCEVV，所以有113131AECABCSBFSh，4635h，20303h．所以30sin10EHHAEAE．即直线AE和平面1ABC所成角的正弦值为3010．解法3：如图4，同原题解法3建立空间直角坐标系，设12AA，点A，B，1C，AB，1AC及平面1ABC的法向量n的坐标同原题解法3．不同的是：122D0，，，AE=1220，，．所以cos||||nAEnAEnAE·，·33302310102．由此即知，直线AE和平面1ABC所成角的正弦值为3010．评析：解法1的作图与运算很复杂，不可取．选择解法2和解法3比较合适．综观原题与它们的两种变式的三种解法，各有千秋，都应掌握好.对于一道具体的题目来说究竟选择哪一种方法更好？具体问题具体分析，需要根据题目所给的图形特征来确定：若几何体容易作出线面角，解法1是最佳选择；若几何体不容易作出线面角，而比较容易建立坐标系和求相关点的坐标，向量法是最佳选择；若几何体不容易作出线面角，但能构造四面体用等体积法求斜线上一点到平面的距离，解法2也是比较不错的选择．