1.参数方程的概念及圆的参数方程

在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。�参数方程的概念及圆的参数方程�学习目标：•1.通过实例了解建立曲线的参数方程及圆的参数方程的实际意义。•2.掌握圆的参数方程的表达形式。1、参数方程的概念：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？？救援点投放点�1、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？�xy500o0,y令10.10.ts得100,1010.xtxm代入得.1010所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在指定位置txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s1、参数方程的概念：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？�（一）方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。（二）由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。�(),().xftygt（2）并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：参数是联系变数x,y的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.3.在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数�的值。a)在曲线C上，求a(6,(2)、已知点M位置关系(5,4)与曲线C的M(0,1),(1)、判断点M(t为参数)12ty3tx数方程{例1、已知曲线C的参3212不在曲线C上。点M这个方程组无解，所以12t43t5，得到{(5,4)代入方程组把点M在曲线C上。所以M0方程组，解得t的坐标(0,1)代入解：(1)把点M222119所以，a9,a2,解得t12ta3t6{a)在曲线C上，所以(6,(2)、因为点M23�练习11、曲线与x轴的交点坐标是()A、（1，4）；B、C、D、21,(43xttyt为参数）25(,0);16(1,3);25(,0);16B�知识回顾若以（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2标准方程的优点在于：它明确指出圆的圆心和半径D2+E2-4F0若时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，称为圆的一般方程思考：圆是否还可用其他形式的方程来表示？�oyxrM(x,y)0M2、圆的参数方程速圆周运动的时刻)的物理意义(质点作匀程。其中参数t有明确半径为r的圆的参数方这就是圆心在原点O，(t为参数)rsinωtyrcosωtx即{rysinωt,rxcosωt的定义有：＝r，那么由三角函数OM设y)，那么θ＝ωt，θ，坐标是M(x,过的角度是如果在时刻t，点M转点M从M0出发以为角速度按逆时针方向运动�转过的角度。的位置时，OM点O逆时针旋转到OM绕OM中参数θ的几何意义是为r的圆的参数方程其半径这也是圆心在原点O，(θ为参数),rsinθyrcosθx{以取θ为参数，于是有考虑到θ＝ωt，也可00�圆的参数方程的一般形式：程又是怎么样的呢？半径为r的圆的参数方)y,(xo那么，圆心在点,ry普通方程是x的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆002222202000r)y(y)x(x通方程为(θ为参数)对应的普rsinθyyrcosθxx{�注意：由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。�例3如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ�(θ为参数)sinθy3cosθx{数方程是所以，点M的轨迹的参sinθ22sinθy3,cosθ262cosθx由中点坐标公式得：θ,2sinθ),P的坐标是(2cos则点θ,xOPy)，x,解：设点M的坐标是(�参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y)（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式�小结：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(),().xftygt（2）并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。2.熟记圆的参数方程�思考：这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在圆O内，轨迹是什么？�参数为说线为参数把下列方程化普通方程，并明各表示什么曲？xt1（1）{(t)y1t例1、2sincos2{1sin2xy（）点)点的一条射线(包括端这是以(1,1)为端1)3(x2x普通方程是y所以与参数方程等价的1,1t又x32x得到y,t21代入y1xt1有1t解：（1）由x�这是抛物线的一部分。].2,2[xy,x普通方程为所以与参数方程等价的],2,2[所以x),4πsin(θ2cosθsinθ又xy,得到xsin2θ1cosθ平方后减去ysinθ(2)把x22sincos2{1sin2xy（）�这是抛物线的一部分。].2,2[xy,x普通方程为所以与参数方程等价的],2,2[所以x),4πsin(θ2cosθsinθ又xy,得到xsin2θ1cosθ平方后减去ysinθ(2)把x22sincos2{1sin2xy（）�yxo(1,-1)oy22x参数方程化为普通方程的步骤1、消掉参数（代入法、平方相加减等）2、写出定义域注意:在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。�3{(0,1)ttttxaaaayaa（）2214()11txtttyt（）为参数224(2)xyx2221()11:txtttyt变为参数化2241(1)xyy�