高中数学竞赛校本教材20平面几何证明

第1页共8页§20平面几何证明1．线段或角相等的证明（1）利用全等△或相似多边形；（2）利用等腰△；（3）利用平行四边形；（4）利用等量代换；（5）利用平行线的性质或利用比例关系（6）利用圆中的等量关系等。2．线段或角的和差倍分的证明（1）转化为相等问题。如要证明a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。（2）直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。3．两线平行与垂直的证明（1）利用两线平行与垂直的判定定理。（2）利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。（3）利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。例题讲解1．从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD。第2页共8页2．△ABC内接于⊙O，P是弧AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。[@^z~step.co*m]3．已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证：∠O1AO2=∠M1AM2。[~@step^.com%]4．在△ABC中，ABAC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE=。5．∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。[[e-mail].%~com*&]第3页共8页6．在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。[w^ww&.#*zzstep.com%]7．菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求证：MQ∥NP。[中国教~@育*出版网#^][中~国#教育出版网&^%]8．ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证：KP⊥AB。[中国教育&出^*@版网#][来源^:*&@中~教网][@t^e#p*.com][中国#教*%育@出版网~]第4页共8页9．以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AM⊥BC。例题答案1.分析1：构造两个全等△。连结ED、AC、AF。CF=DF←△ACF≌△EDF←←←∠PAB=∠AEB=∠PFB分析2：利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。←∠PFB=∠POB←←注：连结OP、OA、OF，证明A、O、F、P四点共圆亦可。第5页共8页2.分析：只需证，PM·PN=MS·NT。（∠1=∠2，∠3=∠4）→△APM∽△PBN[中国^%@教育&出~版网]→→PM·PN=AM·BN（∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA→→MS·NT=AM·BN3.分析：设B为两圆的另一交点，连结并延长BA交P1P2于C，交O1O2于M，则C为P1P2的中点，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM为M1M2的中垂线。[来源&:zzs#t~ep.c*@om]在O1M上截取MO3=MO2，则∠M1AO3=∠M2AO2。故只需证∠O1AM1=∠O3AM1，即证。由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。[来&源~^:@中教网*][来~源#@^*:中教网]4.分析：方法1、2AE=AB-AC←在BE上截取EF=AE，只需证BF=AC，连结DC、DB、DF，从而只需证△DBF≌△DCA[来*源%:zz#ste&p@.com]第6页共8页←DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC[中@~国*^教育出&版网]←∠DFA=∠DAF=∠DAG。方法2、延长CA至G，使AG=AE，则只需证BE=CG←连结DG、DC、DB，则只需证△DBE≌△DCG←DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。[中^国教*~育@%出版网]5.分析：若角平分线过O，则P、M重合，PM=0，结论显然成立。若角平分线不过O，则延长DO至D‘，使OD’=OD，则只需证DD‘=PM。连结D’P、DM，则只需证DMPD‘为平行四边形。过O作m⊥PK，则DD’,KP，∴∠D‘PK=∠DKPBL平分∠ABC，MK⊥BL→BL为MK的中垂线→∠DKB=∠DMK∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’D∥PM，∴DMPD‘为平行四边形。6.分析：方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。倍长中线：延长AM至M’，使AM=MA‘，连结BA’，如图6-1。PQ∥AB←←←第7页共8页←∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)=180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ方法2、结合角平分线和BH⊥AH联想对称知识。延长BH交AC的延长线于B’，如图6-2。则H为BB‘的中点，因为M为BC的中点，连结HM，则HM∥B/C。延长HM交AB于O，则O为AB的中点。延长MO至M’，使OM‘=OM，连结M’A、M‘B，则AM’BM是平行四边形，∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是，，所以PQ∥AB。7.分析：由AB∥CD知：要证MQ∥NP，只需证∠AMQ=∠CPN，结合∠A=∠C知，只需证△AMQ∽△CPN←，AM·CN=AQ·CP。连结AC、BD，其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K，连结OE、OM、OK、ON、OF。记∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，则∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是，∴AM·CN=AO·CO同理，AQ·CP=AO·CO。8.分析：延长KP交AB于L，则只需证∠PAL+∠APL=90°，即只需证∠PDC+∠KPC=90°，只需证∠PDC=∠PKF，第8页共8页因为P、F、K、E四点共圆，故只需证∠PDC=∠PEF，即EF∥DC。←←←△DME∽△CNF[来源:中@^#国*教&育出版网][中^国教育%出版~网@*]9.分析：连结BE、CD交于H，则H为垂心，故AH⊥BC。（同一法）设AH⊥BC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面证M1、M2重合。OM1∥DF→→OM1=。OM2∥EG→→OM2=。只需证OG·DF=EG·OF，即←Rt△OEG∽Rt△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。