结构力学课后答案第10章结构动力学

1第十章10-5试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。(a)(b)EI1=∞EImy分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y，。(c)(d)mmmmmm在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m，B处有一弹性支座（刚度系数为k），C处有一阻尼器（阻尼系数为c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。解：1）刚度法该体系仅有一个自由度。可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为..mla。取A点隔离体，A结点力矩为：....3121233IMmlallmal由动力荷载引起的力矩为：2121233ttqllql由弹性恢复力所引起的弯矩为：.2133laklcal根据A结点力矩平衡条件0IpsMMM可得：3...3221393tqlkamallcal整理得：...33tqkacamalll2）力法A213tql13l13lkBC.lc解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移。根据几何关系，虚功方程为：...201110333ltqllklllcmxxdx则同样有：...33tqkacamalll。10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量m，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。EIm1m2EIEIEI2EImmaAcEI=∞kBmaaaaEDCFkmkθ2解：32.ca2ka..3ma32kak取DF隔离体，0FM：..2220.2322324aRamxdxkaRmaka取AE隔离体：0AM...32220430akmxdxcakaRa将R代入，整理得：..32251504Rmakak10-10试建立图示各体系的运动方程。(a)解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。M(t)..12ml（2）画出pM和1M图（在B点处作用一附加约束）..324tmlMtM1pRpM3EIl11k1M（3）列出刚度法方程113EIkl，..3124ptmRlM，1110pkR代入1pR、11k的值，整理得：..432472tMEImll(b)解：l11P21P2llABEIl2mEI1=∞M(t)ml2l2FP(t)EI31M图2M图试用柔度法解题此体系自由度为1。设质量集中处的竖向位移y为坐标。y是由动力荷载ptF和惯性力矩IM共同引起的。11112()ptyMF由图乘法：321112233lllEIEI，312/252622248llllllEIEI惯性力矩为..myl，33..5348ptllymylFEIEI经整理得，体系运动方程为：..33516ptEImyyFl。10-11试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。(a)解：a2a11M图图乘得：31111225222223236aaafaaaaEIEI311165EImfma(b)解：此体系为静定结构，内力容易求得。在集中质量处施加垂直力P，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为23。由此根据弯矩平衡可求得49Pk。4293kkmm。(c)解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。上简支梁柔度系数为332486llEIEI下简支梁柔度系数为396lEI于是两者并联的柔度系数为331696102lEIEIEIl并，31102EImml(d)解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。水平支杆中力为33013EIl，即1133013EIkl。，1133013kEImmlEA1=∞l2l2l2l2EI2EImEIllllmEI=常数m2aaaEI=常数mEI1=∞ll2k433013EIl3913EIl3913EIl31213EIl3613EIl(e)忽略水平位移解：123231212565611M图22112455272213362aaafaEAEAEA111227EAmfma(f)解：316l532l1l332l332l316l1364l33211M图2M图M图31312331323162130.0149743223323221933219364llllllllEIEI3318.1720.014974EIEImmlml10-15设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm，试求该结构的阻尼比ξ。解：0475.006.0188.1ln201ln21nkkyyn10-16设有阻尼比ξ＝0.2的单自由度结构受简谐荷载FP(t)=Ftsin作用，且有75.0。若阻尼比降低至ξ＝0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？解：2222222411mFA已知从0.2降低至0.02.75.0，tFFsin1，A不变。12222221827.016902.0416911692.041691FFFFF简谐荷载的幅值应调整到0.827F。l2l2mlEI=常数4a4a3amEA=常数510-19试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设36mlEI。(a)解：由力法可知，单位荷载作用在B点引起33lEI位移。313EImml，36EIml32221sinsin31tFFlyttEIm即幅值为33FlEI当幅值最大时，弯矩也最大。FlmaxM图(b)解：2l1l1M图2M图（1）求结构运动方程如所示弯矩图，图乘后，333112212215,,24348lllffffEIEIEI..11121112..3sinsin245sin2ItCyfFfFtfmyfFtEIFyytmml其中2*3245,2EIPFml，稳态解：*222331sin1512=sin124145=sin36tCPytmFltEIFltEI所示结构的运动方程为35=sin36tCFlytEI，C点最大动位移幅值为3536FlEI（2）求B点的动位移反应..21222122sinsinItBtByfFfPtfmyfPt*2221sin1tBPytm，*..22221sin1tBPytmBEIm2l2ltFsinACEImtFsinABl632*212222232322232222235=sin361sin1551=sin48231251=1sin33217132=3tCtBFlytEIyfPPftllPPtEIEIPltEIPlEI22233sin11214=sin31283121=sin288tPltEIPltEIB点的动位移幅值为3121288PlEI（3）绘制最大动力弯矩图m111k212EIlm23EIl221k1M图2M图33max2212135122812883696APlEIPlEIMPlEIEIll3max212131212881922CPlEIMPlEIl121192Pl28196Pl最大动力弯矩图10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。解：..2lm2lkl..332ml32ll若tq为静力荷载，弹簧中反力为ql89。已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角为坐标。建立动力方程：lxdxqllklmllml230....2332322qkmlqlklm8989..2222..22112l2lCABlEI=∞mDm3tqsinq(t)=k7则弹簧支座的最大动反力为l891122。10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106N·m2，t1＝0.1s，FP0＝8×104N。(a)解：求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。可将排架柱视为三个并联的弹簧。边柱刚度柔数3313hEIkk中柱326hEIk，312hEIk并sradNmmNmk/645.010800061061223326sT73.92，3.97173.91.01Tt数值很小所以认为当tPF作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得：smvvFtvmttt/1051.010821108213141511再根据势能守恒得：myykymvststt0077.0103121105108212121262352max21NkyFstQ128310610077.06中中，NFFQ中Q边6422110-22设图a所示排架横梁为无限刚性，并有图b所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。(a)解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。第一阶段（10tt）：111111200100022sin2sin21sin1sin1sinsin1tttTtTyttTttTytttytttmFdZZttZmFdZZtFmysssPtPtZPt求T的过程。126EIh26EIh26EIh26EIh1M图6m4000kNEI2EIEIEA=∞EA=∞2000kN2000kNFP(t)831124hEIk，31124mhEImk，EImhT24223第二阶段（1tt）因为不受外力作用，所以横梁以1t时刻的位移和速度为初始值做自由振动。(b)10-23设题10-22图a所示刚架m＝4000kg，h＝4m，刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率γ＝0.10。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5％，试求刚架柱子的弯曲刚度EI至少为何值。解：（1）求周期数。301.005.0ln05.000neyynY（2）求k：kmntn2mNtmnkn/10223.142110100.43014159.322323222两柱并联2631079.3122mNEIkhEI10-24设某单自由度体系在简谐荷载FP(t)=Ftsin作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频率分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大？解：在简谐荷载FP(t)=Ftsin作用下，稳态位移响应可表示为