圆锥曲线中点弦问题

1关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题例1过椭圆141622yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222kxkkxk又设直线与椭圆的交点为A(11,yx)，B（22,yx），则21,xx是方程的两个根，于是14)2(82221kkkxx，又M为AB的中点，所以214)2(422221kkkxx，解得21k，故所求直线方程为042yx。解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,yx)，B（22,yx），M（2，1）为AB的中点，所以421xx，221yy，又A、B两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx，两式相减得0)(4)(22212221yyxx，所以21)(421212121yyxxxxyy，即21ABk，故所求直线方程为042yx。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(yx,)，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-yx2,)，因为A、B两点在椭圆上，所以有16)2(4)4(1642222yxyx，两式相减得042yx，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为042yx。二、求弦中点的轨迹方程问题例2过椭圆1366422yx上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解法一：设弦PQ中点M（yx,），弦端点P（11,yx），Q（22,yx），2则有57616957616922222121yxyx，两式相减得0)(16)(922212221yyxx，又因为xxx221，yyy221，所以0)(216)(292121yyyxxx，所以yxxxyy1692121，而)8(0xykPQ，故8169xyyx。化简可得01672922yxx（8x）。解法二：设弦中点M（yx,），Q（11,yx），由281xx，21yy可得821xx，yy21，又因为Q在椭圆上，所以136642121yx，即136464)4(422yx，所以PQ中点M的轨迹方程为1916)4(22yx（8x）。三、弦中点的坐标问题例3求直线1xy被抛物线xy42截得线段的中点坐标。解：解法一：设直线1xy与抛物线xy42交于),(11yxA，),(22yxB，其中点),(00yxP，由题意得xyxy412，消去y得xx4)1(2，即0162xx，所以32210xxx，2100xy，即中点坐标为)2,3(。解法二：设直线1xy与抛物线xy42交于),(11yxA，),(22yxB，其中点),(00yxP，由题意得22212144xyxy，两式相减得)(4122122xxyy，所以4))((121212xxyyyy，所以421yy，即20y，3100yx，即中点坐标为)2,3(。上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论引理设A、B是二次曲线C：022FEyDxCyAx上的两点，P),(00yx为弦AB的中点，则3)02(22000ECyECyDAxkAB。设A),(11yx、B),(22yx则0112121FEyDxCyAx……（1）0222222FEyDxCyAx……（2）)2()1(得0)()())(())((212121212121yyExxDyyyyCxxxxA∴0)()()(2)(22121210210yyExxDyyCyxxAx∴0))(2())(2(210210yyECyxxDAx∵020ECy∴21xx∴ECyDAxxxyy00212122即ECyDAxkAB0022。（说明：当BA时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P),(00yx的切线斜率公式，即ECyDAxk0022）推论1设圆022FEyDxyx的弦AB的中点为P),(00yx（)00y，则EyDxkAB0022。（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为）推论2设椭圆12222byax的弦AB的中点为P),(00yx（)00y，则0022yxabkAB。（注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为0022yxabk）推论3设双曲线12222byax的弦AB的中点为P),(00yx（)00y则0022yxabkAB。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为0022yxabk）推论4设抛物线pxy22的弦AB的中点为P),(00yx（)00y则0ypkAB。（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为)0ypk我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。例1、求椭圆1162522yx斜率为3的弦的中点轨迹方程。解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有yx25163，故所示的轨迹方程为16x+75y=0)2417524175(x例2、已知椭圆),0(12222babyaxA、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线l与x轴EyDxk00224相交于P)0,(0x，求证：abaxaba22022。证明：设AB的中点为T),(11yx，由题设可知AB与x轴不垂直，∴01y，∴1122yxabkAB∵l⊥AB∴1122xybakl∴l的方程为：)(111221xxxybayy令y=0得)(01011221xxxybay∴02221xbaax∵ax||1∴axbaa||0222∴abaxaba22022例3、已知抛物线C：xy2，直线,1)1(:xkyl要使抛物线C上存在关于l对称的两点，k的取值范围是什么？解：设C上两点A、B两点关于l对称，AB的中点为P),(00yx（)00y∴kyypkAB12100∴ky210∵P∈l∴,1)1(00xky∴,1)1(210xkk∴kx1210∴)21,121(kkP∵P在抛物线内，∴kk121412∴,04423kkk∴,04)22)(2(2kkkk∴.02k与抛物线有关的弦的中点的问题（1）中点弦问题：5（上题麻烦了。是圆不用中点法）例1由点)0,2(向抛物线xy42引弦，求弦的中点的轨迹方程。分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。解法1：利用点差法。设端点为A),(11yx，B),(22yx，则1214xy，2224xy，两式相减得)(4122122xxyy，①①式两边同时除以12xx，得4)(121212xxyyyy，②设弦的中点坐标为),(yx，则xxx221，yyy221，③又点),(yx和点)0,2(在直线AB上，所以有12122xxyyxy。④将③、④代入②得422xyy，整理得)2(22xy。故得中点的轨迹方程是)2(22xy在抛物线xy42内部的部分。解法2：设弦AB所在直线的方程为)2(xky，由方程组)2(4)1()2(2xyxky消去x并整理得0842kyky，（3）设A),(11yx、B),(22yx、中点),(yx，对于方程（3），由根与系数的关系，有kyy421，∴kyyy2221代入（1）得)2(22xy6故得所求弦中点的轨迹方程是)2(22xy在抛物线xy42内部的部分。评注：（1）求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点),(yx与已知条件的内在联系，列关于x，y的关系式，进而求出轨迹的方程。（2）弦中点轨迹问题设抛物线pxy22（0p）的弦AB，A),(11yx，B),(22yx，弦AB的中点C),(00yx，则有)2(2)1(2222121pxypxy，（1）－（2）得)(2212221xxpyy，∴2121212yypxxyy，将0212yyy，2121xxyykAB，代入上式，并整理得0ypkAB，这就是弦的斜率与中点的关系，要学会推导，并能运用。例2已知抛物线xy22，过点)1,2(Q作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点轨迹方程。解：如图，设弦AB的中点为M，并设A、B、M点坐标分别为),(11yx，),(22yx，),(yx，根据题意设有1212xy，①2222xy，②xxx221，③yyy221，④212121xyxxyy，⑤④代入①－②得，)(2)(22121xxyyy，∵21xx，∴yxxyy12121，⑥⑥代入⑤得，22xyy，即47)21(2xy。评注：本题还有其他解答方法，如设AB的方程为1)2(xky，将方程代入xy22，利用根与系数的关系，求出弦中点的轨迹方程。789例6求直线1xy被抛物线xy42截得线段的中点坐标。解：解法一：设直线1xy与抛物线xy42交于),(11yxA，),(22yxB，其中点),(00yxP，由题意得xyxy412，消去y得xx4)1(2，即0162xx，所以32210xxx，2100xy，即中点坐标为)2,3(。解法二：设直线1xy与抛物线xy42交于),(11yxA，),(22yxB，其中点),(00yxP，由题意得22212144xyxy，两式相减得)(4122122xxyy，所以4))((121212xxyyyy，所以421yy，即20y，3100yx，即中点坐标为)2,3(。10用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11yxA、),(22yxB，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。本文用这种方法作一些解题的探索。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11yxA、),(22yxB)1,2(M为AB的中点421xx221yy又A、B两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx于是0))((4))((21212121yyyyxxxx21244)(421212121yyxxxxyy即21ABk，故所求直线的方程为)2(211xy，即042yx。例2、已知双曲线1222yx，经过点)1,1(M能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直