南大复变函数与积分变换课件(PPT版)3.1-复积分的概念

1第三章复变函数的积分第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理§3.1复积分的概念§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数2第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念§3.1复积分的概念一、复积分的定义二、复积分的性质三、复积分的计算3第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念abxyC定义如图设C为简单光滑的有向(1)将曲线C任意划分：一、复积分的定义函数在C上有定义，)(zf,,,,,210bzzzazn令,1kkkzzz,||max1knkzzkz0zkznzk-1(2)在每个弧段上任取一点,1kkkzzzkkzz1若存在(不依赖C的划分和的选取)，nkkkzf10)(limzkz则称之为沿曲线C的积分，记为.d)(Czzf)(zf曲线，其方向是从a到b，P54定义3.14第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念abxyC一、复积分的定义表示沿曲线C的注(1)Czzfd)(znzk-1z0zkzkC负方向积分；表示沿闭曲线G(2)Γzzfd)((的逆时针方向)积分；5第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念第一类曲线积分二、复积分的性质(1).d)(d)(d)]()([CCCzzgzzfzzgzfCCzzfzzf|d||)(|d)(||(4)(2).d)(d)(CCzzfzzfCszfd|)(|(3),d)(d)(d)(21CCCzzfzzfzzf其中，.21CCC其中，,|)(|maxzfMCzL为曲线C的弧长。,MLP586第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念估计Czzzde例的模的一个上界，其中C如图所示。xyCi11Czszd|||e|Cxsd|e|Cxsde.eπ解CzzzdeCzzz|d|e7第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念解曲线C：,10:t,43titz|)14(3|||titiz22)14()3(tt18252tt259254252)(t.53Czizd1Csizd||1.325535xyC34P58例3.4i8第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念证不妨设,1r2412rrπzzzrzd1||230szzrzd|1|||||23szzrzd||1||||23||.)0(,0r||22||1|1|zzP59例3.59第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念三、复积分的计算CCyixviuzzf)dd()(d)(.ddddCCyuxviyvxu附格林(Green)公式进一步可化为定积分或者二重积分。方法一化为第二类曲线积分P55定理3.1(推导?)10第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念,d)()]([d)(baCttztzfzzf三、复积分的计算方法二直接化为定积分,)()()(:tyitxtzzC,:bat设曲线则.)()()(tyitxtz其中，附其它方法(后面的章节介绍)利用原函数计算，即.)(d)(10zzCzFzzf利用柯西积分公式、高阶导公式计算。利用留数计算。P5611第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念解,xz(1)曲线C1的方程为,10:x,1yiz曲线C2的方程为,10:y,dd12CCzzzzI1010)1(d)1(dyiyixx1010d)1(dyyiixx102102)21(21yyix.ixyC1C2C3i1C42yx计算,dCzzI例其中C为(如图)：(1);21CCC(2);3CC(3).4CCP57例3.3修改12第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念解(2)曲线C3的方程为,10:t,titz3dCzzI102212ti.i10)(d)(tittit10d)1()1(ttiixyC1C2C3i1C42yx计算,dCzzI例其中C为(如图)：(1);21CCC(2);3CC(3).4CCP57例3.3修改13第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念解,10:t(3)曲线C4的方程为,2titz4dCzzI.i1022)(d)(tittit1022)(21tit2)1(21ixyC1C2C3i1C42yx计算,dCzzI例其中C为(如图)：(1);21CCC(2);3CC(3).4CCP57例3.3修改14第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念解,xz(1)曲线C1的方程为,10:x,1yiz曲线C2的方程为,10:y1010)1(d)1(dyiyixx1010d)1(dyyiixx102102)21(21yyix.1ixyC1C2C3i1计算,dCzzI例其中C为：(1);21CCC(2).3CC,dd12CCzzzzIP56例3.1修改15第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念解(2)曲线C3的方程为,10:t,titz102212t.110)(d)(tittit10d)1()1(ttii3dCzzIxyC1C2C3i1计算,dCzzI例其中C为：(1);21CCC(2).3CCP56例3.1修改16第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念πniiθrirI20d)(ee,e0irzz解曲线C的参数方程为,20:π,d20)1(1eπninθri当时，1n;2iπI当时，1n.0)1(20)1(1eπninrniiIxry0zzC注此例的结果很重要！▲P57例3.217第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念休息一下……18第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念附：复积分化为第二类曲线积分的公式推导az0zk1znzkbxyzkC设函数在C上连续，viuzf)(则也在C上连续；),(,),(yxvyxu,kkkyixz由有当时，0||max1knkz,0||max1knkx;0||max1knky,),(kkkz记则nkkkzf1Δ)(z,)Δ)](Δ,(),([1nkkkkkkkyixivu,)(lim10nkkkzfzCzzfd)(如图(1)19第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念nkkkzf1Δ)(z,)Δ)](Δ,(),([1nkkkkkkkyixivu,]Δ),(Δ),([1kkkkkknkyuxvinkkkkkkkyvxu1]Δ),(Δ),([Czzfd)(.ddddCCyuxviyvxu将上式两端取极限(即令)，得0||max1knkz附：复积分化为第二类曲线积分的公式推导20第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念)(tzCzzfd)(.ddddCCyuxviyvxu.d)()]([battztzf(2),)()()(:tyitxtzzC,:bat设曲线则Czzfd)(battytytxvtxtytxud)()(,)()()(,)(][)()(battytytxutxtytxvid)()(,)()()(,)(][)()(battyitxtytxvitytxud)()()(,)()(,)(][][)()(.d)()]([d)(baCttztzfzzf即附：复积分化为第二类曲线积分的公式推导(返回)