必修四向量加法运算及其几何意义(附答案)

1向量加法运算及其几何意义[学习目标]1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．知识点一向量的加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→平行四边形法则如图，已知两个不共线向量a，b，作AB→＝a，AD→＝b，以AB→，AD→为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量AC→＝a＋b思考如图，已知向量a,b，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a＋b.答案作法1：在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b.2作法2：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则OC→＝OA→＋OB→＝a＋b.知识点二向量的加法和向量的模(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b||a|＋|b|；(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a||b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.知识点三向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考1根据下图中的平行四边形ABCD，验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(注：AB→＝a，AD→＝b)答案∵AC→＝AB→＋BC→，∴AC→＝a＋b.∵AC→＝AD→＋DC→，∴AC→＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.思考2根据下图中的四边形ABCD，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．答案∵AD→＝AC→＋CD→＝(AB→＋BC→)＋CD→，∴AD→＝(a＋b)＋c，又∵AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋(BC→＋CD→)，∴AD→＝a＋(b＋c)，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3题型一向量加法及其运算律例1化简：(1)BC→＋AB→；(2)DB→＋CD→＋BC→；(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.解(1)BC→＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→.(2)DB→＋CD→＋BC→＝BC→＋CD→＋DB→＝(BC→＋CD→)＋DB→＝BD→＋DB→＝0.(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AD→＋DF→＋FA→＝AF→＋FA→＝0.跟踪训练1如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)AB→＋AD→＝________；(2)AC→＋CD→＋DO→＝________；(3)AB→＋AD→＋CD→＝________；(4)AC→＋BA→＋DA→＝________.题型二向量加法在平面几何中的应用例2已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO→＝OC→，DO→＝OB→.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明AB→＝AO→＋OB→，DC→＝DO→＋OC→，又∵AO→＝OC→，OB→＝DO→，∴AB→＝DC→.∴AB＝CD且AB∥DC.∴四边形ABCD为平行四边形．4跟踪训练2如图所示，在四边形ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，试判断四边形的形状．解∵AC→＝AB→＋AD→，∴DC→＝DA→＋AC→＝DA→＋AB→＋AD→＝DA→＋AD→＋AB→＝AB→，即DC→＝AB→.∴四边形ABCD为平行四边形．题型三向量加法的实际应用例3在水流速度为43km/h的河中，如果要船以12km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．解如图，设AB→表示水流速度，则AC→表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则AD→即表示船航行的速度．因为|AB→|＝43，|AC→|＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝4312＝33，即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.所以|AD→|＝83，∠BAD＝120°.即船航行的速度为83km/h，方向与水流方向所成角为120°.跟踪训练3如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解设AB→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.向量加法的多边形法则5向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．如图，即：A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An——→＝A1An→.或A1A2→＋A2A3→＋…＋An－1An——→＋AnA1→＝0.这是一个极其简单却非常有用的结论．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．例4在正六边形ABCDEF中，AC→＋BD→＋CE→＋DF→＋EA→＋FB→＝________.解析AC→＋BD→＋CE→＋DF→＋EA→＋FB→＝(AB→＋BC→)＋(BC→＋CD→)＋(CD→＋DE→)＋(DE→＋EF→)＋(EF→＋FA→)＋(FA→＋AB→)＝(AB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FA→)＋(BC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FA→＋AB→)＝0＋0＝0.答案01．作用在同一物体上的两个力F1＝60N，F2＝60N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为()A．30NB．60NC．90ND．120N2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是()A.FD→＋DA→＋DE→＝0B.AD→＋BE→＋CF→＝0C.FD→＋DE→＋AD→＝AB→D.AD→＋EC→＋FD→＝BD→3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则AB→＋BC→＋AC→的模等于________．4．化简：(1)AB→＋CD→＋BC→；(2)(MA→＋BN→)＋(AC→＋CB→)；(3)AB→＋(BD→＋CA→)＋DC→.65．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB→＋AC→＝AP→＋AQ→.一、选择题1．已知向量a∥b，且|a||b|0，则向量a＋b的方向()A．与向量a方向相同B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同D．不确定2．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝aB.AB→＋BC→＋AC→＝0C.AB→＋BA→＝0D.CA→＋AC→＝MN→＋NP→＋PM→3．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝bD．a，b无论什么关系均可4.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC→＋DC→＋BA→等于()A.BD→B.DB→C.BC→D.CB→5.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB→＋FE→＋CD→|等于()A．1B．2C．3D．2376．设a＝(AB→＋CD→)＋(BC→＋DA→)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＝|a|－|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤二、填空题7．根据图示填空，其中a＝DC→，b＝CO→，c＝OB→，d＝BA→.(1)a＋b＋c＝________；(2)b＋d＋c＝________.8．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．9．已知正方形ABCD的边长为1，AB→＝a，AC→＝b，BC→＝c，则|a＋b＋c|＝________.10．已知点G是△ABC的重心，则GA→＋GB→＋GC→＝______.三、解答题11．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．求证：PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝4PO→.12．已知|OA→|＝|a|＝3，|OB→|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.13.如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．8当堂检测答案1．答案B2．答案D解析FD→＋DA→＋DE→＝FA→＋DE→＝0，AD→＋BE→＋CF→＝AD→＋DF→＋FA→＝0，FD→＋DE→＋AD→＝FE→＋AD→＝AD→＋DB→＝AB→，AD→＋EC→＋FD→＝AD→＋0＝AD→＝DB→≠BD→.故选D.3．答案213解析|AB→＋BC→＋AC→|＝|2AC→|＝2|AC→|＝213.4．解(1)AB→＋CD→＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→.(2)(MA→＋BN→)＋(AC→＋CB→)＝(MA→＋AC→)＋(CB→＋BN→)＝MC→＋CN→＝MN→.(3)AB→＋(BD→＋CA→)＋DC→＝AB→＋BD→＋DC→＋CA→＝0.5．证明∵AP→＝AB→＋BP→，AQ→＝AC→＋CQ→，∴AP→＋AQ→＝AB→＋AC→＋BP→＋CQ→.又∵BP＝QC且BP→与CQ→方向相反，∴BP→＋CQ→＝0，∴AP→＋AQ→＝AB→＋AC→，即AB→＋AC→＝AP→＋AQ→.课时精练答案一、选择题1．答案A解析如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．2．答案B解析AB→＋BC→＋AC→＝AC→＋AC→＝2AC→≠0，故B错．3．答案A94.答案C解析BC→＋DC→＋BA→＝BC→＋(DC→＋BA→)＝BC→＋0＝BC→.5.答案B解析|AB→＋FE→＋CD→|＝|AB→＋BC→＋CD→|＝|AD→|＝2.6．答案C解析a＝0，∴a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|，故选C.二、填空题7．答案(1)DB→(2)CA→解析(1)a＋b＋c＝DC→＋CO→＋OB→＝DB→.(2)b＋d＋c＝CO→＋BA→＋OB→＝CA→.8．答案8解析∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.∴|a＋b|的最大值为8.9．答案22解析|a＋b＋c|＝|AB→＋AC→＋BC→|＝|AB→＋BC→＋AC→|＝|AC→＋AC→|＝2|AC→|＝22.10．答案0解析如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，则GB→＋GC→＝GD→，GD→＋GA→＝0，∴GA→＋GB→＋GC→＝0.三、解答题11．证明∵PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝PO→＋OA→＋PO→＋OB→＋PO→＋OC→＋PO→＋OD→＝4PO→＋(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)＝4PO→＋(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝4PO→＋0＋0＝4PO→.∴PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝4PO→.1012．解如图，∵|OA→|＝|OB→|＝3，∴四边形OACB为菱形．连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.∵∠AOB＝60°，∴AB＝|OA→|＝3.∴在Rt△BDC中，CD＝332.∴|OC→|＝|a＋b|＝332×2＝33.13.证明AE→＝AB→＋BE→，FC