两条直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定[学习目标]1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.知识点一两条直线平行与斜率的关系1.如图①，设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则k1＝k2；反之，若k1＝k2，则l1∥l2.2.如图②，若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行.思考如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？答不一定.只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等.知识点二两条直线垂直与斜率的关系1.如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直.即k1k2＝－1⇒l1⊥l2，l1⊥l2⇒k1k2＝－1.2.如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直.思考如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？答不一定.若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在.题型一两条直线平行关系的判定与应用例1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行：(1)l1经过点A(2,3)，B(－4,0)；l2经过点M(－3,1)，N(－2,2)；(2)l1的斜率为－12，l2经过点A(4,2)，B(2,3)；(3)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；(4)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3).解(1)kAB＝3－02－－4＝12，kMN＝2－1－2－－3＝1，kAB≠kMN，所以l1与l2不平行.(2)l1的斜率k1＝－12，l2的斜率k2＝3－22－4＝－12，即k1＝k2，所以l1与l2平行或重合.(3)由题意，知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.(4)由题意，知kEF＝－1－1－2－0＝1，kGH＝3－42－3＝1，所以l1与l2平行或重合.需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG＝4－－13－－2＝1.所以E，F，G，H四点共线.所以l1与l2重合.跟踪训练1已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标.解设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC.所以0－11－0＝3－n4－m，n－1m－0＝3－04－1，解得m＝3，n＝4.所以点D的坐标为(3,4).题型二两条直线垂直关系的判定与应用例2判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40).解(1)直线l1的斜率k1＝2－－21－－1＝2，直线l2的斜率k2＝1－－12－－2＝12，k1k2＝1，故l1与l2不垂直.(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，故l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴.直线l2的斜率k2＝40－4010－－10＝0，则l2∥x轴.故l1⊥l2.跟踪训练2已知△ABC的顶点坐标为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，试求m的值.解∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，∴kAB＝－1－15－1＝－12，kAC＝－1－m5－2＝－m＋13，kBC＝m－12－1＝m－1.当AB⊥BC时，有kAB·kBC＝－1，即－12·(m－1)＝－1，解得m＝3；当AB⊥AC时，有kAB·kAC＝－1，即－12·－m＋13＝－1，解得m＝－7；当AC⊥BC时，有kAC·kBC＝－1，即－m＋13·(m－1)＝－1，解得m＝±2.综上所述，若△ABC为直角三角形，则m的值为3或－7或±2.题型三平行与垂直关系的综合应用例3已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状.解由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图，由斜率公式可得kAB＝5－32－－4＝13，kCD＝0－3－3－6＝13，kAD＝0－3－3－－4＝－3，kBC＝3－56－2＝－12.所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.又因为kAB·kAD＝13×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.跟踪训练3已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).解设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，∵kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边.①若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.又kAD＝kBC，∴y－3x＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3,3).②若AD是直角梯形的直角边，则AD⊥AB，AD⊥CD，∵kAD＝y－3x，kCD＝yx－3，∴y－3x×3＝－1，y－3x·yx－3＝－1，即y－3x＝－13，－13·yx－3＝－1.解得x＝185，y＝95，∴D点坐标为185，95.综上可知，D点坐标为(3,3)或185，95.忽略斜率不存在的情况而致误例4已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值.分析由于A，B两点的纵坐标为确定的数，故AB与x轴不平行，因而CD与x轴不垂直，在求解时要对直线AB分与x轴垂直和不垂直两种情况讨论求解.解因为A，B两点的纵坐标不相等，所以AB与x轴不平行.因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，所以－m≠3，即m≠－3.当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1，则CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意.当AB与x轴不垂直时，由斜率公式，得kAB＝4－2－2m－4－－m－3＝2－m＋1，kCD＝3m＋2－m3－－m＝2m＋1m＋3.因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，即2－m＋1·2m＋1m＋3＝－1，解得m＝1.综上，m的值为1或－1.1.已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值()A.2B.1C.0D.－12.已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为()A.－7B.－1C.－1或－7D.1333.若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有()A.α1－α2＝90°B.α2－α1＝90°C.|α2－α1|＝90°D.α1＋α2＝180°4.过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为()A.垂直B.平行C.重合D.以上都不正确5.直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝，y＝.一、选择题1.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是()A.1B.－1C.2D.－22.直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是()A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直3.若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a的值是()A.－23B.－32C.23D.324.已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为()A.1B.0C.0或2D.0或15.若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为()A.135°B.45°C.30°D.60°6.将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为()A.y＝－13x＋13B.y＝－13x＋1C.y＝3x－3D.y＝13x＋1二、填空题7.已知直线l1：y＝x，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为.8.已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l1∥l2，则log91x＝.9.已知点A(1,2)和点B(0,0)，点P在y轴上，若∠BAP为直角，则点P的坐标为.10.已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为.三、解答题11.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率.12.已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2).(1)若l1∥l2，求m的值；(2)若l1⊥l2，求m的值.当堂检测答案1.答案B解析直线AB与x轴垂直，则点A，B横坐标相同，即m＝1.2.答案A解析l1的斜率为－3＋m4，纵截距为5－3m4，l2的斜率为－25＋m，纵截距为85＋m.又∵l1∥l2，由－3＋m4＝－25＋m得，m2＋8m＋7＝0，得m＝－1或－7.m＝－1时，5－3m4＝85＋m＝2，l1与l2重合，故不符合题意；m＝－7时，5－3m4＝132≠85＋m＝－4，符合题意.3.答案C解析两直线垂直则它们的倾斜角的绝对值相差90°.4.答案A解析过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直.5.答案－17解析∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－12，∴7－5x－3＝y－5－1－3＝－12，∴x＝－1，y＝7.课时精练答案一、选择题1.答案B解析因为kMN＝4－－1－3－2＝－1，所以若直线PQ与直线MN平行，则2m－23－m＝－1，解得m＝－1.2.答案D解析方程x2－3x－1＝0有两个不同实根，且两根之积为－1，即直线l1，l2的斜率之积为－1，所以l1与l2垂直.3.答案A解析因为直线l与斜率为－23的直线垂直，所以直线l的斜率为32.所以1－－1－a－2－a－2＝32，解得a＝－23.4.答案D解析当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD.5.答案B解析kPQ＝a＋1－bb－1－a＝－1，kPQ·kl＝－1，∴l的斜率为1，倾斜角为45°.6.答案A解析将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°后所得直线为y＝－13x，再向右平移1个单位，得y＝－13(x－1)，即y＝－13x＋13.二、填空题7.答案135°解析因为直线y＝x的斜率k1＝1，所以若直线l2⊥l1，则直线l2的斜率k＝－1.所以直线l2的倾斜角为135°.8.答案－12解析因为l1∥l2，所以6＋2x＋1＝2，解得x＝3.所以log913＝－12.9.答案(0，52)解析设P(0，y)，则有2－01－0×y－20－1＝－1.所以y＝52.所以点P的坐标为0，52.10.答案(－19，－62)解析设A(x，y).∵AC⊥BH，AB⊥CH，∴kAC·kBH＝－1，kAB·kCH＝－1.又∵kBH＝1－22－－3＝－15，kCH＝3－2－6－－3＝－13，∴kAC＝y－3x＋6＝5，kAB＝y－1x－2＝3.解得x＝－19，y＝－62.即点A的坐标为(－19，－62).三、解答题11.解由斜率公式可得kA