全等三角形(知识点讲解)

全等三角形一、目标认知学习目标：1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。重点：1.使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；2.三角形全等的性质和条件。难点：1.掌握用综合法证明的格式；2.选用合适的条件证明两个三角形全等二、知识要点梳理知识点一：全等形要点诠释：能够完全重合的两个图形叫全等形。知识点二：全等三角形要点诠释：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形知识点三：对应顶点，对应边，对应角要点诠释：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。知识点四：全等三角形的性质要点诠释：全等三角形对应边相等，对应角相等知识点五：三角形全等的判定定理（一）要点诠释：三边对应相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”知识点六：三角形全等的判定定理（二）要点诠释：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”知识点七：三角形全等的判定定理（三）要点诠释：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”知识点八：三角形全等的判定定理（四）要点诠释：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”知识点九：直角三角形全等的判定定理要点诠释：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”三、规律方法指导1.探索三角形全等的条件：（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：①边角边（SAS）；②角边角(ASA);③角角边(AAS);④边边边(SSS).(2)直角三角形的全等的条件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.2．判别两个三角形全等指导（1）已知两边（2）已知一边一角（3）已知两角3．经验与提示：⑴寻找全等三角形对应边、对应角的规律：①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．③有公共边的，公共边一定是对应边．④有公共角的，公共角一定是对应角．⑤有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)⑵找全等三角形的方法①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。⑶证明线段相等的方法：①中点定义；②等式的性质；③全等三角形的对应边相等；④借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。⑷证明角相等的方法：①对顶角相等；②同角（或等角）的余角（或补角）相等；③两直线平行，同位角、内错角相等；④等式的性质；⑤垂直的定义；⑥全等三角形的对应角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。⑸证垂直的常用方法①证明两直线的夹角等于90°；②证明邻补角相等；③若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；④垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。⑤证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；⑥邻补角的平分线互相垂直。⑹全等三角形中几个重要结论①全等三角形对应角的平分线相等；②全等三角形对应边上的中线相等；③全等三角形对应边上的高相等。4.知识的应用（1）全等三角形的性质的应用：根据三角形全等找对应边，对应角，进而计算线段的长度或角的度数.（2）全等三角形判别方法的应用：根据判别方法说明两个三角形全等，进一步根据性质说明线段相等或角相等.（3）用全等三角形测量距离的步骤：①先明确要解决什么实际问题；②选用全等三角形的判别方法构造全等三角形；③说明理由.5．注意点（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.（2）三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件中至少有一条边.（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系.（4）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由.（5）注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”.6.数学思想方法（1）转化思想：如将实际问题转化数学问题解决等.（2）方程思想：如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题.（3）类比思想：如说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等经典例题透析类型一：全等三角形性质的应用1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。【变式2】如右图，，。求证：AE∥CF【答案】∴AE∥CF2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。解析：在ΔABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B，又∠A=30°，∠B=50°，所以∠ACB=100°.又因为ΔABC≌ΔDEF，所以∠ACB=∠DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以∠DFE=100°EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.【答案】(1）因为ΔACD≌ΔECD，所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.所以CD⊥AB.(2）因为ΔCEF≌ΔBEF,所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.因为∠CFE+∠BFE=180°，所以∠CFE=∠BFE=90°.因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.所以EF∥AC.类型二：全等三角形的证明3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．思路点拨:欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得解析：∵AC＝BD(已知)∴AB-BD＝AB-AC(等式性质)即AD＝BC在△ADF与△BCE中∴△ADF≌△BCE(SAS)总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC【答案】∵AB∥CD∴∠3＝∠4在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB(SAS)∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．求证AF＝DE．【答案】∵EB⊥AD(已知)∴∠EBD＝90°(垂直定义)同理可证∠FCA＝90°∴∠EBD＝∠FCA∵AB＝CD，BC＝BC∴AC＝AB+BC＝BC+CD＝BD在△ACF和△DBE中∴△ACF≌△DBE(S．A．S)∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：AB+AC2AD.思路点拨:要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE因为AD为ΔABC的中线，所以BD=CD.在ΔACD和ΔEBD中，所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).所以BE=CA.在ΔABE中，AB+BEAE，所以AB+AC2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE.【答案】分别延长CE、BA交于F.因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.在ΔBEF和ΔBEC中，所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.所以∠BDA=∠BFC.在ΔABD和ΔACF中，所以ΔABD≌ΔACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF思路点拨:(1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．解析：(1)在△ABE与△CDF中∴△ABE≌△CDF(SAS)∴AE＝CF(全等三角形对应边相等)(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等)∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)(3)在△AEF与△CFE中∴△AEF≌△CFE(SAS)∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证AF＝AG．【答案】在△AGE与△BCE中∴△AGE≌△BCE(SAS)∴AG＝BC(全等三角形对应边相等)在△AFD与△CBD中∴△AFD≌△CBD(SAS)∴AF＝CB(全等三角形对应边相等)∴AF＝AG(等量代换)6、如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．思路点拨:若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD=AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′求证：△ABC≌△A