2、高级实验设计—古典回归设计(Classic-Regessional-Design)

060120180施氮量(kgN/ha)2468Chapter2Classicregressiondesign第二章古典回归设计例如：为研究作物产量与施氮量之间定量关系，建立肥料效应模型而进行的试验设计就是回归设计。由于在相关分析的研究中，相关系数都是对一定的回归分析数学模型而言，其试验设计与回归设计的要求相同，因而也归为此类。回归设计对获得的数据采用回归分析或相关分析方法的方案设计。0123456020406080100120140R2=0.728y=a+bx+cx2y=a+bxR2=0.384施肥量产量回归设计的统计目的是建立试验因素和试验效应之间的定量关系。设计方法与试验因素效应及描述回归关系的数学模型有密切关系。以建立肥料效应方程为目的，试验设计时应注意以下几点：1.氮、磷、钾肥的产量具有平台效应特点，为了展示氮肥效应特点，施肥水平一般不少于5～6个。2.施肥的水平范围适当加宽有利于揭示肥料效应变化趋势，增加回归方程的拟合性，但水平上限不要远离生产上可行的施肥量范围。3.多元回归与一元回归相比的优点是能揭示不同养分肥料之间的交互作用，但试验因素越多，试验条件越难以控制，获得理想试验结果的机率越小。为获得理想的肥料效应方程，古典回归设计的试验因素一般不超过3个。4.多元回归的各因素不一定设同样多的水平数，对重点研究的因素，水平数可以适当增加。例如：与磷肥效应相比，氮肥水平数一般要多于磷肥。5.回归分析是通过有限个处理建立试验因素与试验效应之间定量关系，再利用这种关系进行预测预报，以寻求因素优化组合（如优化施肥方案）为目的的回归设计，其因素水平范围只要覆盖预期水平即可，不必像析因设计那样必须包含预期水平或处理。6.回归分析用观测值散点拟合效应变化趋势，其统计检验结论与剩余自由度有关，只要有足够剩余自由度，试验可以设重复，也可以不设重复。但若要检验回归方程的失拟误差，以选择适宜的回归模型就必须设置重复。【应用实例】在黄淮海平原某冬小麦-夏玉米轮作吨粮田生产区，拟建立优化施肥模型，提出优化施肥方案并对过量施氮产生的土壤残留NO3--N进行研究。其余农业措施，按吨粮高产要求进行。处理重复4次，随机区组排列。表2-4冬小麦-夏玉米高产轮作的小麦氮肥用量试验方案施肥量(有机肥m3/hm2，余为kg/hm2)处理号处理NP2O5K2O有机肥1N00907522.52N175907522.53N2150907522.54N3225907522.55N4300907522.56N5375907522.5第一节多元线性回归Multivariatelinearregression00.10.20.30.41317212529-200204060籽粒产量(克/盆)苗期施氮(gN/Kg土)土壤含水量(%)在实际中，与因变量y有关系的变量不止一个，而是多个，它们之间的关系也不一定是线性的。例如，作物产量（Yield）的高低，与播期（Sowingdate）、密度（Density）、施肥量（Fertilizationrates）、土壤肥力（Soilfertility）、以及雨量（Rainfall）、光照（Sunshine）、气温（Temperature）、病虫害（Damagebypestsanddiseases）等多种因素有关。多元回归（Multivariateregression）:研究变量y与多个变量之间的定量关系。许多多元非线性回归都可以化为多元线性回归来处理。设变量y与另外p个变量x1,x2,…,xp的内在关系是线性的，如果做了N次试验，其结果如下表：NNpNNpppyxxxNyxxxyxxxyxxx212222211112112121试验号1.多元线性回归的数学模型MathematicalmodelNNppNNNppppxxxyxxxyxxxy2211022222211021112211101上表中的数据可以假定具有如下数学模型：ppxxxy22110N,,2,1即NNpNNpppyxxxNyxxxyxxxyxxx212222211112112121试验号NNppNNNppppxxxyxxxyxxxy2211022222211021112211101或者ppxxxy22110N,,2,1p,,,10N,,,21),0(2N式中是待估参数，是N个独立且服从统一正态分布的随机变量。①②①、②称为多元线性回归的数学模型。相应的多元线性回归方程为：ppxbxbxbby22110ˆppxbxbxbb22110yˆ式中b0为常数项，bj为y对xj的偏回归系数，它是表示当其它x固定不变时，xj变化一个单位而使y平均变化的数值。如果令：Nyyyyy321NpNNpppxxxxxxxxxxxxX213323122221112111111p10N21则模型可以写成矩阵形式:XYpartialNNppNNNppppxxxyxxxyxxxy2211022222211021112211101多元线性回归的数学模型:NyyyyY321NpNNpppxxxxxxxxxxxxX213323122221112111111p10则模型可以写成矩阵形式:XYN×1N×(p+1)(p+1)×1N×1Why?N212.多元线性回归方程的建立确定线性方程的原则：确定b0及bj值：要使则有：欲使建立的回归方程最好，须使和之间的差异最小。yyˆ2)yˆ(yQ=最小2)yˆ(yQ=最小，0)(2)(0)(2)(221102221102211002221100jppjppjppppxxbxbxbbybxbxbxbbybQxbxbxbbybxbxbxbbybQ即yxbxbxxbxxbxyxbxxbxbxxbxyxbxxbxxbxbxybxbxbxNbpppppppppppp)()()()()()()()()()()()()()()(2221102222212102112211210122110上式及本式称为正规方程组（Normalequations）。对正规方程组求解，即得b0,bj。0)(2)(0)(2)(221102221102211002221100jppjppjppppxxbxbxbbybxbxbxbbybQxbxbxbbybxbxbxbbybQ如果令A为正规方程组的系数矩阵，即：yxbxbxxbxxbxyxbxxbxbxxbxyxbxxbxxbxbxybxbxbxNbpppppppppppp)()()()()()()()()()()()()()()(222110222221210211221121012211022122221212121121pppppppxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxNAXXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxNpNNpppNpppNN213323122221112112122212121111111111(p+1)×(p+1),方阵(p+1)×NN×(p+1)StructurematrixyxyxyxyBp21YXyyyyxxxxxxxxxNNpppNN321212221212111111(p+1)×NN×1令B为正规方程组右端的常数项矩阵，即：令则正规方程组YXBbXXAb)(对上式求解，得：),,(210pbbbbb)()(11210YXXXBAbbbbbpyxbxbxxbxxbxyxbxxbxbxxbxyxbxxbxxbxbxybxbxbxNbpppppppppppp)()()()()()()()()()()()()()()(2221102222212102112211210122110可以写成矩阵形式：表7.310株玉米穗行数x1，行粒数x2与单株产量y例：欲建立的二元线性回归方程为：调查某玉米综合种10株，该品种每株玉米皆为单果穗。试建立每穗行数、行粒数与单株产量间的二元线性回归方程。22110yˆxbxbb处理穗行数x1行粒数x2单株产量y116291392163215031432133412391425182614361437160716311478143816191440169101428134)()(11210YXXXBAbbbb)()(11210YXXXBAbbbbbpNyyyy321y常数项矩阵y矩阵结构矩阵NpNNpppxxxxxxxxxxxx213323122221112111111XyxyxyxyYXBp2128161401413814131161371412618139121321413216129161X134169161147160143142133150139y1124449143324914227615033215010222122121121xxxxxxxxxxNXXA结构矩阵y矩阵49450221201478YXB1124449143324914227615033215010222122121121xxxxxxxxxxNXXA常数项矩阵6888.49790.95480.157b1210BAbbb每穗行数、行粒数与