3x+1猜想的一个证明

13x+1猜想的一个证明（2013.10.10）苏法王摘要：找到了解决3x+1猜想的一个数学工具，找出了3x+1猜想成立的条件，给出了3x+1猜想成了的一个证明。关键词：数论猜想特殊数列，级数数学方法1、引言随便取一个正整数x,我们进行如下操作：如果x是偶数，那么我们将x除以2,得到新的数x/2；如果x是奇数，那么我们将x乘以3再加上1，得到新的数3x+1。接着我们再将这个新的数施行上述同样的操作，以此类推下去,总会得到1，这就是著名的3x+1猜想。在西方它常被称为西拉古斯(Syracuse)猜想，克拉兹(Collatz)问题，哈斯(Hasse)算法，乌拉姆(Ulam)问题等等。而在东方，这个问题被称作角谷猜想。以这么多数学家名字命名同一个猜想，足以看出这个猜想的难度。这个猜想是一个相当棘手的数学问题，许多数学家进行了认真的研究，但都没有取得成功。于是人们把这个猜想分成几个问题来研究，比如：1.1用实际计算实施验证，看能否找到反例？目前3x+1猜想已经被检验到x=112589990684262400，都没有发现反例，而且这个记录被不断刷新[1]。1.2、对任意正整数x实施3x+1操作，到达1的总长度是否有限？已经知道的数2234047405400065的总长度为1871，这是目前为止已知的总长度最长的一个数[2]。1.3、对任意正整数x实施3x+1操作，是否总会到达1？数学家们已经证明，存在一个常数c和一个整数n，当n足够大的时候，在比n小的x中，能够到达1的个2数大于等于nc,目前c=0.81[3]。1.4、除了4,2,1这一完整循环，是否还存在其他循环？如果这样一个循环存在，那么它的长度应该大于102225496[4]。1.5、对任意正整数x实施3x+1操作，如果把其中除以2的变换称为“偶变换”并记为E(x)，而把乘以3再加1的变换称为“奇变换”并记为O(x)，是否存在()/()log3/log2OxEx？已经证明()/()log2/log3OxEx[5]。从上述研究中，我们看到，人们对3x+1猜想的研究基本还停留在具体数字的计算验证阶段，笔者在另一篇论文中已经解决了问题1.4，本文运用一个数学工具，证明3x+1猜想。1.6、定理A：设01x为任意整数，对其实施3x+1操作，经过有限次操作，总会到达1。2、引理为了研究方便，我们要求读者对于以下这些概念要有具体的了解，具体参见[7]：1、3x+1操作；2、起始数0x，除了特别规定，一般要求起始数是奇数，且01x；3、循环；4、循环数；5、去偶函数；6、0xS数列；7、0xS有限数列；0xS无限数列；8、0xS有循环数数列；0xS无循环数数列。由于概念6在证明中非常重要，我们将它的定义重点表述如下：定义A：0xS数列：以0x为起始数,对其实施31x操作，产生一个数列,将其中的奇数组成的数列,叫0xS数列,记作0012,,,...xiSxxxx，jx为奇数，0ji为自然数。我们规定，起始数0x为奇数，直接作0xS数列首项，0x为偶数，则以去偶函数0x作0xS数列首项。同时规定，如果0xS数列是一个有循环数列，相同的奇循环数只能取一次。比如说：3722113417522613402010516421421421中循环数1只能取一次，偶循环数2,4排出在外，所以77,11,17,13,5,1S。引理1:设0x为起始数,对其实施31x操作，总有00xxSS（2.1）引理2:设0x为起始数,对其实施31x操作，总有0012,,,...xiSxxxx（2.2）其中tx为奇数且唯一确定。0xS数列的通项公式为1231,(2,)1,1,1tnttttxxxxti（2.3）引理3:如果0xS是循环数列，除1ix外k,0ixxkti（2.4）引理1-3的证明参见[6]引理4:设ix为0xS数列尾项，则有1210111133...3311..1112222iiiinnnnxx（2.5）证明:结合引理2的（2.3），我们从0t，逐项计算tx，则有1101312nxx（2.6）221210111313311222nnnxxx（2.7）33213201111313331112222nnnnxxx（2.8）实施数学归纳，有4121101312111133...3311..1112222iiiiiinnnnnxxx（2.8-1）引理证毕。我们展开（2.5），则有1211123i1101230.........1312111133...3311..11122223333131...222222iiiiiiiiiiiinnnnniiinnnnnnnnnnxxxx（2.9）引理5:设0x为0xS数列首项，则有3211012222...2111...1133333iiiinnnnnixx(2.10)并且1121,13knkkxxki（2.11）展开（2.5），即有（2.10）。结合（2.3）则有（2.11）。引理6:在0xS数列，设1ti为自然数12...ttnnnt＝（2.12）则有10131log311log1log2log233ttktkxtxx（2.13）证明：根据(2.3),我们有1101113131123ktttnkkkkktkxxxxx（2.14）根据(2.14),我们有5123...10131211333tnnnnttktkxxx（2.15）(2.15)两边取对数123101...log2log3311log133ttktknnnntxxx（2.16）(2.12)代入(2.16)有101311log2log3log133ttktkxttxx（2.18）根据(2.18)我们有10131log311log1log2log233ttktkxtxx（2.19）其中，1ti为自然数，引理证毕。引理7:如果0xS为有循环数列，则总有log3log2i（2.20）证明：如果0xS为有循环数列，根据引理3，只能有唯一的11循环，循环数为1，将1ix带入（2.9）有1111121311230............3333311...2222222iiiiiiiiiiiiiiinnnnnnnnnnnnnnnx（2.21）由（2.21）我们有1112131123.........333310...1222222iiiiiiiiiiiinnnnnnnnnnnn（2.22）由（2.21）我们有6111112131123............0031133331=...2222222iiiiiiiiiiiiiiinnnnnnnnnnnnnnnxx（2.23）设1112131123.........001133331b=...222222iiiiiiiiiiiinnnnnnnnnnnnxx（2.24）根据（2.22）（2.23），我们有1112131123.........0011333310b=...1222222iiiiiiiiiiiinnnnnnnnnnnnxx（2.25）（2.23）取对数，（2.12）（2.24）代入（2.23）我们有log3loglog3log2log2log2ibi（2.26）引理成立。由（2.26）我们有11log2log3loglog3log2log2ibi（2.27）所以，如果0xS为有循环数列，不可能有00()/()log2/log3OxEx（2.28）其中0120()...,()iExnnnOxt。引理8:如果0xS是无循环数列,3a为正奇数，1ti为自然数023min,,...ixxxxa（2.29）则有0112233....,iixxxxx＞＞＞＞（2.30）其中712...2331ttnnnttaa（2.31）证明:如果023min,,...ixxxxa（2.32）根据(2.3)（2.32），我们有11000011231=33nxxxxxa(2.33)22111111231=33nxxxxxa111111231=33tntttttxxxxxa(2.34)111111231=33iniiiiixxxxxa（2.35）将上述算式依次代入则有:0112233....,iixxxxx＞＞＞＞（2.36）其中12...2331ttnnnttaa（2.37）1ti为自然数，引理证毕。引理9:如果0xS是无循环数列,3a为正奇数，1ti为自然数，0m为实数8023min,,...ixxxxa，（2.38）、1log1log33,log2log2tmamtt（2.39）则有12...ttti（2.40）证明:根据（2.31），我们设ttte（2.41）在（2.41）中，当0t，t随t的增大而增大；当0t，t随t的增大而减小，=0t，t为一个常数值。所以，只要找到0t的点即可。根据（2.12）（2.31）我们有12...log2loglog311log2log3log131log1log33log2log2log2ttttnnntaatttaatlog（2.42）根据（2.42）我们设1log1log33log2log2log2tta（2.43）同时设91log1log33log2,log2log2ttmamtt（2.44）显然tt（2.45）我们取0t（2.46）则有0t（2.47）由（2.46）我们有1log1log330,log2log2tmamtt（2.48）1ti为自然数，0m为实数，（2.48）结合（2.41）（2.47）我们有12...ttti（2.49）引理证毕。引理10:如果0xS是无循环数列,3a为正奇数，1t为自然数，0m为实数023min,,...xxxxa，（2.50）总有：1log1log33lim0,log2log2ttmamtt（2.51）证明：由（2.13）我们设10101311133tktkxxx（2.52）log