2017年高考真题全国3卷理科数学(附答案解析)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生统一考试理科数学试题卷一、单选题1．已知集合A={}22(,)1xyxy+=│，B={}(,)xyyx=│，则AIB中元素的个数为A．3B．2C．1D．02．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=A．12B．22C．2D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为A．-80B．-40C．40D．805．已知双曲线C：22221xyab−=(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为52yx=,且与椭圆221123xy+=有公共焦点，则C的方程为A．221810xy−=B．22145xy−=C．22154xy−=D．22143xy−=6．设函数f(x)=cos(x+3π)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C．f(x+π)的一个零点为x=6πD．f(x)在(2π,π)单调递减7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π49．等差数列{}na的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{}na前6项的和为A．-24B．-3C．3D．810．已知椭圆C：22221xyab+=，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab−+=相切，则C的离心率为A．63B．33C．23D．1311．已知函数211()2()xxfxxxaee−−+=−++有唯一零点，则a=A．12−B．13C．12D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APuuur=λABuuur+µADuuur，则λ+µ的最大值为A．3B．22C．5D．2二、填空题13．若x，y满足约束条件y0200xxyy−≥+−≤≥，则z34xy=−的最小值为__________．14．设等比数列{}na满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________．15．设函数10()20xxxfxx+≤=，，，，则满足1()()12fxfx+−的x的取值范围是_________。16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所称角的最小值为45°；④直线AB与a所称角的最小值为60°；其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积．18．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．19．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．三、解答题20．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？21．（12分）已知函数()fx=x﹣1﹣alnx．（1）若()0fx≥，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，21111++1+)222nK()(1)(﹤m，求m的最小值．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,xtykt==（t为参数），直线l2的参数方程为2,,xmmmyk=−+=（为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围．参考答案1．B【解析】由题意可得：圆221xy+=与直线yx=相交于两点()1,1，()1,1−−，则ABI中有两个元素.本题选择B选项.2．C【解析】由题意可得：222,2112iizzii=∴===++.本题选择C选项.3．A【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；本题选择A选项.4．C【解析】由()52xy−展开式的通项公式：()()5152rrrrTCxy−+=−可得：当3r=时，()52xxy−展开式中33xy的系数为()33252140C××−=−当2r=时，()52yxy−展开式中33xy的系数为()22352180C××−=，则33xy的系数为804040−=.本题选择C选项.5．B【解析】由题意可得：3,32bca==，又222abc+=，解得224,5ab==，则C的方程为2145xy2−=.本题选择B选项.6．D【解析】当,2xππ∈时，54,363xπππ+∈，函数在该区间内不单调.本题选择D选项.7．D【解析】若2N=,第一次进入循环，12≤成立，100100,1010SM==−=−，2i=2≤成立，第二次进入循环，此时101001090,110SM−=−==−=，3i=2≤不成立，所以输出9091S=成立，所以输入的正整数N的最小值是2，故选D.8．B【解析】【解析】如果，画出圆柱的轴截面11,2ACAB==，所以32rBC==，那么圆柱的体积是2233124Vrhπππ==××=，故选B.9．A【解析】】设等差数列的公差为0d≠，()()()2232612115aaaddd=⋅⇒+=++，22dd=−，()0d≠，所以2d=−，()665612242S×=×+×−=−，故选A.10．A【解析】以线段12AA为直径的圆是222xya+=，直线20bxayab−+=与圆相切，所以圆心到直线的距离222abdaab==+，整理为223ab=，即()22222323aacac=−⇒=，即2223ca=，63cea==，故选A.11．C【解析】【解析】()2112xxxxaee−−+−=−+，设()11xxgxee−−+=+，()()211111111xxxxxxegxeeeee−−−+−−−−′=−=−=，当()0gx′=时，1x=，当1x时，()0gx′函数单调递减，当1x时，()0gx′，函数单调递增，当1x=时，函数取得最小值()12g=，设()22hxxx=−，当1x=时，函数取得最小值-1，若0a−，函数()hx，和()agx没有交点，当0a−时，()()11agh−=时，此时函数()hx和()agx有一个交点，即1212aa−×=−⇒=，故选C.12．A【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,ABDPxy根据等面积公式可得圆的半径是25，即圆的方程是()22425xy−+=()()(),1,0,1,2,0APxyABAD=−=−=uuuruuuruuur，若满足APABADλµ=+uuuruuuruuur即21xyµλ=−=−，,12xyµλ==−，所以12xyλµ+=−+，设12xzy=−+，即102xyz−+−=，点(),Pxy在圆()22425xy−+=上，所以圆心到直线的距离dr≤，即221514z−≤+，解得13z≤≤，所以z的最大值是3，即λµ+的最大值是3，故选A.13．-1【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点()1,1A处取得最小值341zxy=−=−.14．-8【解析】由题意可得：()()1211113aqaq+=−−=−，解得：112aq==−，则3418aaq==−15．14x−【解析】由题意：()()()132,021112,02221212,2xxxxgxfxfxxxx−+≤=+−=++≤+，函数()gx在区间(]11,0,0,,,22−∞+∞三段区间内均单调递增，且：()001111,201,212142g−−=+++×，据此x的取值范围是：1,4−+∞.16．②③【解析】由题意，AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由,ACaACb⊥⊥，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作BDaP，交底面圆C于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD，DEb∴P，连结AD，等腰△ABD中，2ABAD==,当直线AB与a成60°角时，60ABD∠=o，故2BD=，又在BDERt△中，2,2BEDE=∴=，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知2BFDE==,ABF∴△为等边三角形，60ABF∴∠=o，即AB与b成60°角，②正确，①错误.由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a所成的最大角为90°，④错误.正确的说法为②③.17．（1）4c=（2）【解析】（1）由已知得tanA=π−23，所以A=3在△ABC中，由余弦定理得2222844cos+2-24=03c6cccccπ=+−=−，即解得（舍去），=4（2）有题设可得ππ∠∠=∠−∠==，所以26CADBADBACCAD故△ABD面积与△ACD面积的比值为π=ggg1sin26112ABADACAD又△ABC的面积为××∠=∆142sin23，所以的面积为3.2BACABD18．（1）见解析（2）二面角CAED−−的余弦值为42.【解析】（1）由题设可得，,ABDCBDADDC∆≅∆=从而又ACD∆是直角三角形，所以0=90ACD∠取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO又由于ABCBOAC∆⊥是正三角形，故所以DOBDACB∠−−为二面角的平面角2222222220,RtAOBBOAOABABBDBODOBOAOABBDACDABC∆+==+=+==∠⊥在中，又所以，故DOB=90所以平面平面（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OAuuur的方向为x轴正方向，OAu