初升高衔接--乘法公式与因式分解

初中所学过的乘法公式：1、平方差公式22()()=ababab2、完全平方公式222()2abaabb222()2abaabb2233223322223322333223:1.()()=2.()()=3.()2()4.()335.(-)33abaabbababaabbababcabcabbccaabaababbabaababb通过乘法运算得到下列乘法公式立方和公式立方差公式三数和平方公式两数和的立方公式两数差的立方公式321::(1)(21)(2)(23)xxy练习计算322332=x-3x1+32x1-1=8x-12x+6x-1原式（2）（2）2222222=x+y++2xy+x+y=x+4y+9+2xy+3x+6y=x+4y+4xy+6x+12y+9原式（）（2）（3）（2332）（2）222:(1)(-1)(1)(1)xxxxxx练习计算22222426=-11-=-1)(1)=-xxxxxxx解法一：原式（）（）（122336=(1)(1)(-1)(1)=(1)(-1)=-1xxxxxxxxx解法二：原式22222(1)(7)(497)__________(2)()()________(3)()[()]()[()]_______xxxabaabbabababababab练习3计算3-x+34333a-b32b22222333,8,.16310,:1,3abababaaaaabaabb例1已知求的值例若求的值.练已知求值2222=a+b-2ab=3--=ab解：（）2（8）25222333,8,.16310,:1,3ababaaaaabaabb练习4：已知求下列各值例若求的值练已知求值2222=a+b-3ab=3--=aabb解：（）3（8）33332222=a+b=a+ba+b-3ab=3--=abaabb解：（）（）（）33（8）9922(1)aabb33(2)ab332223351,3.16310,:1,3abaabbaaaaabaabb练习：已知求的值例若求的值练已知求值332223=a+ba-ab+b3=a+b3333aabbabababababab解：（）（）=1学习目标：因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)33223322()()()()ababaabbababaabb两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．【例1】因式分解：33(1)8(2)0.12527xb3332182242:()()().xxxxx解3332222012527053053050533053025159()..()(.)[..()](.)(..).bbbbbbbb【例2】因式分解：()(2)34761381abbaab(1)343322:3813(27)3(3)(39).abbbabbabaabb解()76663333222222222()()()()()()()()()()().aabaabaababaabaabbabaabbaababaabbaabb766622422422222222222()()()()[()]()()()().aabaabaabaabbaabababaababaabbaabb或二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．mambnanb【例3】因式分解：2105axaybybx说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．2105axaybybx210525552:()()()().axaybybxaxybxyxyab解2222()()abcdabcd【例4】因式分解：22222222()()abcdabcdabcabdacdbcd解：2222()()abcacdbcdabd()()acbcadbdbcad()()bcadacbd2222428xxyyz因式分解：解：22222224282(24)xxyyzxxyyz222[()(2)]xyz2(2)(2)xyzxyz三、十字相乘法1．2()xpqxpq型的因式分解22()()()()()xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq2()()()xpqxpqxpxqpq(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．特征：xx＋＋【例6】因式分解：276xx（1）（2）21336xx16xx解：276[(1)][(6)]xxxx(1)(6)xx解：94xx21336(4)(9)xxxx22222222(4)2154+3(7)53656+1118xxxxxxxxyyxxyy（5）（6）y-7y+12（8）(9)232xx（1）（2）2215xx（3）练习应用：2+20xx2．一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()axcaxcaaxacacxcc．反过来，就得到：2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【例7】因式分解：22211252(2)568()xxxxyy2112523241:()()().xxxx解3241222568254()()().xxyyxyxy1254练习：22222222231-68+341535813159113215xxxxxxxxxxxxxxxxxx（1）2（2）2（3）4(4)4(5)6(6)5(7)4(8)6(9)18四、配方法【例8】因式分解：2221616(2)44()xxxxyy222:(1)616(3)5(8)(2).xxxxx解22222(2)44(44)8xxyyxxyyy22(2)8(222)(222).xyyxyyxyy说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．五、拆(添)项法【例9】因式分解：3234xx3232:34(1)(33)xxxx解2(1)(1)3(1)(1)xxxxx2(1)[(1)3(1)]xxxx22(1)(44)(1)(2).xxxxx说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行：(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解；(3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．398xx分解因式：33221=919=1-9xxxx解法：原式（）9=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x+x-8)332=88==x(x+1)(x-1)=xxx解法2：原式x（x）-8(x-1)-8(x-1)(x-1)(x+x-8)3333223=98-98=9-988=9(1)(1)8(1)(1)=(1)(8)xxxxxxxxxxxxxxx解法：原式322224=98==(8)xxxxxxx解法：原式（x-1)+(x-8)(x-1)（x-1)398xx分解因式：