2016年中考数学总复习第15讲-锐角三角函数与解直角三角形

-1-bcaBCADBCAhl斜坡BCAbcaBCA2016年中考数学总复习第15讲：锐角三角函数与解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA．在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦，记作cosA．在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA．如图，则：sinA=，∠cosA=，tanA=．sine[英][saɪn][美][saɪn]；cosine[英][‵kəʊsaɪn][美][‵koʊsaɪn]；tangent[英][‵tændʒənt][美][‵tændʒənt]．二、特殊角的三角函数值：作图归纳：sinαcosαtanα300450600注：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合图形进行记忆．2、三角函数可以进行变换．三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形．2、解直角三角形的依据：Rt△ABC中，∠C=900，三个角的三边对应分别为a、b、c，如图：⑴三边关系：；⑵两锐角关系；⑶边角之间的关系：sinA=，cosA，tanA．sinB=，cosB，tanB．注：1、解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是．2、当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应三角函数的边角关系解决．3、解直角三角形应用中的有关概念：⑴仰角和俯角：如图：∠ABC为仰角，∠DAB为俯角．⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度AC和水平宽度BC的比叫做坡度，用i表示，即i=，坡面与水平面得夹角为，用字母α表示，则i=hl=．⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的角，方位角先说南北再说东西．4、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形．⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案．注：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决．【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1．（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255例2．（2012•贵港）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．12考点二：特殊角的三角函数值例3．（2012•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°=．例4．（2012•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°=．．-2-考点三：化斜三角形为直角三角形例5．（2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例6．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）考点四：解直角三角形的应用例7．（2013•益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）例8．（2013•娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）例9．（2013•呼和浩特）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）-3-【综合训练】一、选择题1.（2012•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A．23B．35C．34D．452．（2012•天津）2cos60°的值等于（）A．1B．2C．3D．23．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100mB．1003mC．150mD．503m4．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．310米B．10米C．320米D．3320米第3题图第4题图二、填空题5．（2012•宁夏）在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA=．三、解答题6．（2012•遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）7．（2012•资阳）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD=10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．