实变函数教案

《实变函数教案》总48学时实变函数诞生于上世纪初．（法）Lebesgue创立Lebesgue积分．Riemann积分的对象是连续函数；Lebesgue积分的对象是可测函数，其应用广泛．测度积分形成后，建立了泛函分析理论．它是现代数学的一门重要课程，应用广泛．第一章集合§1.1,1.2集合表示及运算1．集合概念集合：具有某种共性的事物的全体,记为C,B,,A．空集：；全集：X．元素：AAxx,或．如：0xRxA；B=｛一个班级全体学生｝．2．包含与相等BA是指：BxAx；称A是B的子集．BA是指：BxAx．若BABA　且　，称A为B的一个真子集．关系”“满足：(1)AA；(2)BAABBA　且　；(3)CACBBA，　．3．集合的运算并集BxAxxBA或；交集BxAxxBA且；若BA，称A与B不相交；差集BxAxxBA\且；余集AXXA\A,c．（画图示．）集合运算性质：(1)交换律：ABBAABBA,；(2)结合律：)()(),()(CBACBACBACBA；(3)分配律：)()()(),()()(CBCACBACBCACBA；(4)对偶律：ccccccBABABABA)(,)(．4．集族集族：X为集合，集合A的元素都是X的子集，称A为X的一个集族．AA：A中所有元素的并；AA：A中所有元素的交．幂集：XXP2)(，X的全体子集构成的集族．指标集，XA,，有集族}{A．并：}Ax,{XxA；交：}Ax,{XxA．如}n,,3,2,,1{N，得到集列1}{nnA；1nAn，1nAn．简记)(A}{A}{nn1或为nA．5．集合序列的极限定义1.1.1.}{nA为一集列，XAn．上限集：}Axn,kN,n{Alimk1k使XxAnnknn；下限集：}Axn,kN,n{Alimk1k有XxAnnknn．关系：nnAlimnnAlim．若nnAlimnnnAAnlimAlim＝，称)(nA收敛．例1.令)3,2,1,n(},3,n2,n,1{nAn，则1nAlimnnnAnnAlim．)(nA收敛．例2.令)3,2,1,n(},)1{(nnA，则11kAlimnnnknnA，1}1,{1}1,{Alim11knnnknnA．故)(nA发散．定理1.1.1.)(nA为一集列，则(1)limnnAx有无穷多个nA含有x；(2)limnnAxn00Axnn,n恒有时，当N．定义1.1.2.(单调集列)单增集列：n321A记为，AAA↗；单减集列：n321A记为，AAA↘．结论：(1)若nA↗，则1nnAlimnnA；(2)若nA↘，则1nnnAlimnA．证：(1)1kAlimnnknnA1nAn；11k1kAAlimnknnknnA1kAk．6．集族的直积A与B的直积集Bb,),(AabaBA；,,,,21nAAA的直积集3,2,1,n,),a,,,(An21211knnnkAaaaAAA．§1.3,对等于基数1．映射（对应）概念映射f：f(x)yY),yX,(xy,x,YX．x――原象，y――象，X――定义域．满射：YXf)(；单射：)()f(2121xfxxx；一一映射：满射+单射．恒等映射xx,:XXTX，（一一映射）．若)(CRY或，称f为X上的实（或复）函数．逆映射：yx,:YXf为一一映射，定义xy,:1为XYf．设YBX,A,:YXf，记})({)(AxxfAf（象）；})({)(1BxfXxBf（原象）．定理1．设YXf:，}{A和}{B分别是X上和Y上的集族，则)(AfAf，)(AfAf；)(11BfBf，(*))(11BfBf．(*)证：记BfE1，)(1BfF．)(fx,Bf(x),,Bf(x)yE,x0010B即则，FEFx．反之，,Bf(x),Bf(x),F,x00故使即EFEx．特征函数（示性函数）：cEEt,0Et,1)(,tXE．性质：设XEBAn,,，(3,2,,1n)，则(1)BABA；(2)BABA；(3)BABA；(4)BABABA；(5)]1[BABABAc；(6)nnnEnElimlim；(7)nnnEnElimlim；(8))(nE收敛nE收敛；此时有nnEEnlimlimn．2．集合的对等、势对等：存在一一映射BA:，称A与B对等，记作BA～或BA．A――集合A的势（基数）．关系“～”性质：(i)反身性：AA～；(ii)对称性：BA～AB～；(iii)传递性：BA～，CB～CA～．3．势的比较若A与B的一个子集对等，记BA；若A与B的一个子集对等，但A与B不对等，记BA．定理1.2.2.对于集合A，有)(APA．证：若}{P(A),A，结论成立．若A，则A与)(AP中由A的单点集构成的子集对等，故)(APA．下用反证法．假设)(APA，则存在一一映射)(:APAf．令AafaAaA)}({．则)(APA，唯一的Aa，使Aaf)(．.)(,;)(,AafaAaAafaAa由定义若由定义若矛盾．故)(APA．Banach引理．设BAf:，ABg:．则AM满足ccMMfg])([．其中MAMfBMfc\M),(\)(c．（证略）定理1.2.3.(1)对于集合A，成立AA；(2)若BA，CACB；(3)若BA，BAAB(Berstein定理)．证(3)：由条件，存在单射BAf:及单射ABg:．由引理，])([M,ccMfgAM使．注意到)(:AfAf，)(:BgBg均为一一映射，可令BA:为c1Ma),(Ma),()(agafa．是一一映射，得BA．§1.3;1.5可数集与不可数集对于集合A，A，规定0A；}n,2,,1{～A，nA．以上称A为有限集．若}n,,2,,1{NA～，称A为可数集（可列集），},a,,a,{n21aA（元素互异），记0A．不是可数集的无限集称为不可数集．定理1.3.1.每一无限集必含有一个可数子集．证：设A为无限集．取Aa1．由于}{\1aA，可取}]{\[12aAa．由于}a,{\21aA，可取}]a,{\[213aAa．继续下去，便得A的可数子集}{na．推论．可数集的任一子集至多是可数集．证：设AA为无限子集，则AA．由Th1.3.1，AA0．故0AA．定理1.3.2.设(10为有限集或可数集)，若)(0A，则A至多为可数集；又，使0A，则A是可数集．（可列个可数集之并是可数集）．证：若1，结论显然成立．只需证明当N，N)(n0nA且n)(mnmAA时结论成立．记},,,,,{11312111jaaaaA，},,,,,{22322212jaaaaA，},,,,,{33332313jaaaaA，},,,,,{321jiiiiiaaaaA，．按对角线法则，有1nAn},,,a,a,a,a,,,{41132231122111jiaaaa．它是可数集．定理1.3.3.若n),2,,1(10kAk，且存在0iAn},2,,1{使，i，则n1kAk是可数集．（有限个可数集的乘积集是可数集）．证：只需证明当n)k(1A0k时结论成立．利用数学归纳法．当1n时，结论成立．假设mn时，结论成立．取定1)1(mmiAa，记}{A)1(m1kmikiaB，)3,2,1,(i．则m1kAkiB～，由假定iB为可数集，故1i1m1kBAik为可数集．例1．有理数集Q是可数集．证：只需证明正有理数集Q是可数集．一方面，QN；另一方面，互素且,,,qpNqppqQNNqpNqpqp,,,),(互素且～．而00NNQN，0})0{(QQQ．同理，0NZ．例2．实数集R是不可数集．证：只需证明闭区间b)(a,］［ba是不可数集．用反证法及闭区间套定理．假设}{],[nxba是可数集．可将],[ba三等分，分点为c,d．区间],[ca与],[bd中至少有一个区间不含1x，将它记为],[11ba；对],[11ba重复上述对],[ba的讨论，可得不含},{21xx的子区间],[22ba；如此以往，得闭区间列1]},{[nnba，满足：(a)]b,[],[],[11ababannnn；(b)nnnabab3；(c)],[nnba不含},,,{21nxxx中点．由闭区间套定理，唯一}{],[]b,[a1nnnnxba．故0nx．而由(3)知，)n(n],[00nnnbax．矛盾．由于aarctgxabxf211)()(是)b,(aR的一一映射，记],[),(babaR．(连续统的势)记S为无理数集，SQR，SR．定理1.3.4.若N)n(2nA，则A1nn．证：只需证明：当)3,2,1,n(2An时A1nnG；而当)3,2,1,n(An时G．若2An，则N)(n}1,0{～nA，A}3,2,1,n},1,0{)({nnG～．而]1,0(～A(采用二进制小数表示)．于是]1,0(AG．若nA，则)3,2,1,(n]1,0(～nA，B}3,2,1,n],1,0()({nnG～．每个n可用二进制无穷小数表示为0.11312111k，.022322212k，.033332313k，)}1,0{(nk．0.321knnnnnaaaa，．利用对角线法则，作映射]1,0(:Bf为)B)((,0.)(n312213122111n．显然，f是单射，于是]1,0(BG．推论1．若01，)(1A，且存在0，0A，则A．推论2．若1，)(A，