高数微分方程考试复习资料选择题

选择题（50）（1）知识、概念层次，难度等级11、下列四个微分方程中，为三阶方程的有（）个.（1）43322320dydyydxdx（2）336xdydyxyedxdx（3）1323ydyyedx（4）33sindydxdyeydx（A）1（B）2（C）3（D）4答案：C难度等级1知识点：常微分方程的阶的定义分析：根据微分方程的阶的定义，微分方程的阶是指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，因此，（1），（3），（4）均是三阶微分方程，故应选（C）2、函数（）是微分方程42yyx的通解.（）(A)112yx(B)2xyCe（C）21212xyCexC(D)2112xyCex答案D难度等级1知识点：常微分方程通解的定义分析：判断一个函数是否是微分方程的通解，首先是函数代入方程能使方程变为恒等式，其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（A）中不含任意常数，是方程的特解，选项（C）中任意常数的个数多于一个，因此不能选，（B）不满足方程，故应选（D）3、下列等式中（）是线性微分方程.(A)22yxy(C)2xyye(B)20yx(D)2yyxy答案：B难度等级1知识点：线性常微分方程的定义分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为(A),(C),(D)选项中出现了非线性项2y,故应选（B）4、微分方程(1)2(1)(2)(1)nnxxnnnxnndydydyeeeeyedxdxdx是（）.（A）n阶常系数非齐次线性常微分方程（B）n阶常系数齐次线性常微分方程（C）n阶变系数非齐次线性常微分方程（D）n阶常变系数齐次线性常微分方程答案：C难度等级1知识点：齐次线性常微分方程的定义分析：所给方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，故应为线性常微分方程，又因为其系数是变量x的函数，故应是变系数，并且有自由项(2)nxe,因此是非齐次方程，故应选（C）5、微分方程633xydyeeyxydx的一个解为（）.（A）6y（B）6yx（C）yx（D）yx答案：D难度等级1知识点：常微分方程解的定义分析：将（A），（B），（C），（D）所给函数代入所给方程，易知只有yx满足方程，故应选（D）6、下列函数组（）在其定义区间内是线性相关（）.(A)2,xx(B)ln(),ln()xxx（C)cos(2),sin(2)xx(D)sin(2),cos()sin()xxx答案：D难度等级1知识点：函数组的线性相关与线性无关分析：由函数组线性相关与无关的判定，（A），（B），（C）中所给的两个函数的比值不为常数，而sin22sincosxxx，因此应选（D）7、下列（）不是全微分方程.(A)32(3)0ydxxxydy(C)3()()0xydxxydy(B)2210xyyxdxdyyy(D)0ydxxdy答案：A难度等级1知识点：全微分方程的判定分析：微分方程(,)(,)0MxydxNxydy是全微分方程的充要条件是MNyx，因此（B），（C），（D）均满足此条件，而22119MNxyyx，因此应选（A）8、方程22()0ydxxyxdy的积分因子为（）.（A）21()xx（B）21()yy（C）221(,)xyxy（D）1(,)xyxy答案：C难度等级1知识点：积分因子的定义分析：微分方程(,)(,)0MxydxNxydy不是全微分方程时，若存在二元函数(,)xy,使得(,)[(,)(,)]0xyMxydxNxydy是全微分方程，则称(,)xy为方程的积分因子，因此代入(A),（B），（D）所给函数均不满足条件，因此应选（C）9、下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）（A）sindyydxx(B)1dyydxxx(C)2dyyydxxx(D)1dyydxx答案：D难度等级1知识点：齐次方程与线性方程的判定分析：由题意只有(B),(D)是线性微分方程，而（B）不是齐次方程，因此应选（D）10、试指出下列哪个（）函数是二阶微分方程20,(0)yy的通解.(式中12,CC为任意常数).(A)1cos2sinyCxx(C)12cossinyCxCx(B)11cos2sinyCxCx(D)212cossinyCxCx答案：C难度等级1知识点：二阶齐次线性常微分方程通解的定义分析：方程是二阶常系数齐次线性微分方程，其通解中应含有两个独立常数，故(A),(B)不符合要求，（D）中虽有两个独立常数，但210C不是任意常数，故应选（C）11、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12xxyCeCe,其中12,CC为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)xyye(B)20yy（C)0yy(D)0yy答案：D难度等级1知识点：二阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的两个独立解,xxee知，方程对应的特征方程的特征根为121,1，因此对应的特征方程是2(1)(1)10，因此对应的微分方程应是0yy，故应选（D）12、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12()xyCCxe,其中12,CC为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)20yyy(C)20yyy(B)210yy(D)210yy答案：D难度等级1二阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的两个独立解,xxexe知，方程对应的特征方程的特征根为121，因此对应的特征方程是22(1)210，因此对应的微分方程应是210yy，故应选（D）13、若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为2123yCCxCx,其中123,,CCC为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0yy(B)30yy（C)0yy(D)0y答案：D难度等级1知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解21,,xx知，方程对应的特征方程的特征根为1230，因此对应的特征方程是30，因此对应的微分方程应是0y，故应选（D）14、若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123xyCCxCe,其中123,,CCC为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0yy(C)10yyy(B)0yy(D)0yy答案：D难度等级1知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,,xxe知，方程对应的特征方程的特征根为1230,1，因此对应的特征方程是232(1)0，因此对应的微分方程应是0yy，故应选（D）15、可用变换（）将伯努利方程33dyxyydx化为线性方程.（A）1zy（B）2zy（C）3zy(D)4zy答案：B难度等级1知识点：一阶线性常微分方程、伯努利方程分析：在原方程的两边同除以3y,得3231dyyyxdx,因此要使方程为线性，只需令2zy,则32dzdyydxdx，原方程则化为3112dzzxdx，这是线性方程，故应选（B）16、微分方程ln(ln)0yydxxydy是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程（C）全微分方程（D）贝努利方程答案：B难度等级1知识点：一阶常微分方程类型的判定分析：将方程改写为lnlndyyydxyx,因此不是可分离变量方程，也不是贝努利方程，又由(,)ln,(,)lnMxyyyNxyxy,ln1,1MNyyx因此不是全微分方程，又将方程改写为ln11lnlndxyxxdyyyyyy因此是线性方程（将x看作关于变量y的函数），故应选（B）17、微分方程cos2yx的通解是（）.(A)121sin(2)4yxCxC(C)121cos(2)4yxCxC(B)121sin(2)4yxCxC(D)121cos(2)4yxCxC答案：D难度等级1知识点：可降阶的高阶常微分方程的求解分析：将方程连续积分两次，得通解121cos(2)4yxCxC，故应选（D）18、微分方程21xy的通解是（）.(A)1yCx(B)1yCx（C）1Cyx(D)1yxC答案：D难度等级1知识点：一阶常微分方程的求解分析：将方程改写为21dydxx并积分，得通解1yxC，故应选（D）19、若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为123cossinyCCxCx,其中123,,CCC为独立的任意常数，则该方程为（）.(A)0yy(B)0yy（C)0yy(D)0yy答案：D难度等级1知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,cos,sinxx知，方程对应的特征方程的特征根为12,30,i，因此对应的特征方程是2(1)0，因此对应的微分方程应是0yy，故应选（D）20、若6yx是微分方程22(1)6yxyxyx的唯一解，则初始条件应该是（）（A）(1)6,(1)6,(1)0yyy（B）(1)6,(1)0,(1)6yyy（C）(1)6,(1)6,(1)6yyy（D）(1)0,(1)6,(1)0yyy答案：A难度等级1知识点：常微分方程的定解条件分析：由6yx是方程原唯一解，应该满足初始条件，故有(1)6,(1)6,(1)0yyy,故应选（A）（2）知识简单应用层次，难度等级221、微分方程xyye的通解是（）.(A)122xxxyCCee(C)121xxyCeCxe(B)12xxyCCeexx(D)12xxyCCexe答案：D难度等级2知识点：二阶非齐次常系数线性常微分方程分析：方程为二阶非齐次常系数线性方程，对应的齐次方程为0yy，故其特征方程为2(1)0，特征根为120,1，因此齐次方程的通解应为12xyCCe，因此应在(A),(D)中选择，又因函数2xxye不满足方程，故应选（D）22、若1()yx,2()yx是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为（）。（A）12()()xx（B）12()()xx（C）121(()())()Cxxx（D）12()()Cxx答案：C难度等级2知识点：一阶非齐次常系数线性常微分方程分析：由一阶非齐次线性微分方程通解的结构知，其通解应是对应的齐次方程的通解与原各的一个特解之和，而12是齐次方程的解，因此齐次方程的通解应为12()yC，因此非齐次方程的通解应是121()yC或122()yC，故应选（C）23、一曲线过原点，其上任一点(,)xy处的切线斜率为2xy,则曲线方程是（）.(A)222xyxe(C)222xyxe(B)1xyxe(D)222xyxe答案：D难度等级2知识点：一阶非齐次常系数线性常微分方程分析：由题意知，曲线方程()yyx应满足2dyyxdx及初始条件(0)0y，这是一阶非齐次线性微分方程，直接由通解公式可得222xyxe，故应选（D）24、若方程232()()0xxydxfxydy是全微分方程，则()fx().(A)3x（B）32x（C）232x（D）332x答案：C难度等级2知识点：全微分