相似三角形的复习

相似三角形复习你能说出判定两个三角形相似有哪些方法？1、定义：三边对应成比例，三角对应相等。2、基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、两角对应相等4、两边对应成比例，它们的夹角相等5、三边对应成比例6、传递性（2种）7、直角三角形相似的特殊性相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等；2、相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例，且等于相似比；3、相似三角形的周长比等于相似比；4、相似三角形的面积比=（相似比）25、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一起算一下，树高为多少？DBACEHFG解：首先在图上标上字母，过点C作CE⊥AB，垂足为E根据题意，可得：△AEC∽△FGH2.7m2.7m1.2m1.2m1m0.9AEFG=CEHGAE1=2.70.9AE=3m∴树高AB=3+1.2=4.2mFEDCBA例１.如图：已知∠BAC=90°,BD=DC,DE⊥BC交AC于E,交BA的延长线于F.求证：AD2=DE·DF由AD2=DE·DF，得故只要证明△ADE∽△FDA即可分析：ADDEADDF=FEDCBA例１.如图：已知∠BAC=90°,BD=DC,DE⊥BC交AC于E,交BA的延长线于F.求证：AD2=DE·DF证明：∴∠F=∠C=∠DAC∵∠BAC=90°,BD=DC∵DE⊥BC∵∠C+∠B=90°∵∠ADE=∠FDA∴AD=DC,从而∠DAC=∠C∴∠F+∠B=90°∴△ADE∽△FDA∴AD2=DE·DF点评：证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式，然后找相似三角形（或平行线）ADDEADDF=∴例2.如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且∠FEA=∠AFE.求证：BD·CE=CD·BFFEDCBA由BD·CE=CD·BF，得分析：但△DBF与△DCE不相似因此，需作辅助线构造相似三角形BDBFCECD=例2.如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且∠FEA=∠AFE.求证：BD·CE=CD·BFFEDCBAG方法一：过点C作CG∥AB,交DF于G则△DCG∽△DBF故再证CG=CE即可CDCGBFBD=FEDCBAG方法二：过点C作CG∥DF,交AB于G故再证FG=CE即可例2.如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且∠FEA=∠AFE.求证：BD·CE=CD·BFBDBFFGCD=FEDCBAG如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且∠FEA=∠AFE.求证：BD·CE=CD·BF方法三：过点B作BG∥DF,交DF的延长线于G故再证BG=BF即可则△DCE∽△DBGDCCEBGDB=例3.如图：在Rt△ABC中,有正方形DEFG,且E、F在斜边BC上，D、G分别在AB、AC上.求证：EF2=BE·FCGFEDCBA分析：由EF2=BE·FC，得EFFCEFBE=但EF、BE、FC都在同一直线上无法利用相似三角形.由于EF是正方形的边长，故可用BE、FC相关的三角形的边DE与FG来代替.EFFCEFBE=FGFCDEBE=只要证△GFC∽△BED即可.例3.如图：在Rt△ABC中,有正方形DEFG,且E、F在斜边BC上，D、G分别在AB、AC上.求证：EF2=BE·FCGFEDCBA证明：正方形DEFG中，∠DEB=∠GFC=90°,EF=DE=FG.∵又∵∠B+∠C=90°，∠B+∠BDE=90°∴∠BDE=∠C.Rt△BED∽Rt△GFC∴BEDEFCGF=∴BEEFFCEF=∴∴EF2=BE·FC点评：证明共线的线段比例式时，将某些线段用其他线段代替，以便构成相似三角形.这是证明比例式和乘积式的常用方法之一.练习2如图：已知△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，EF交BC的延长线于F.求证：FD2=FC·FBFEDCBA分析：由FD2=FC·FB，得FDFBFDFC=但FD、FC、FB都在同一直线上，无法利用相似三角形.由于FD=FA，替换后可形成相似三角形.FDFBFDFC=FAFBFAFC=只要证△FAB∽△FCA即可.1、如图ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于F点，则图中相似的三角形共有（）对。ADEFBCGA，3B，4C，5D，6D2、如图，在△ABC中，∠BAC=900，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则结论正确的是（）AEBDCA、△AED∽△ACBB、△AEB∽△ACD、C、△BAE∽△ACED、△AEC∽△DAC、C3，将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来。ABDECGF有相似三角形，它们是：△ADE∽△BAE△BAE∽△CDA△ADE∽△CDA4、如图，在△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，AD=6，BD=2，则CD的长为CADB(2)35、如图，D，E分别是△ABC的边AB,AC上的点，∠1=∠B，AE=EC=4，BC=10，AB=12，则△ADE和△ACB的周长之比为（）A，B，C，D，213161ADEBCB416、厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色的大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积比是（）317、如左图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（此处不要求证明）。若将左图中的垂直改为斜交，如右图，AB//CD，AD，BC相交于点E，过E作EF//AB，交BD于F，则（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC之间的关系式，并给出证明。EFCDAB111EFCDAB111AAECECBFDBFD由三角形相似证线段成比例的一般步骤：1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三角形；2、再找这两个三角形相似所需要的条件；3、如这两个三角形不相似，则采用其它办法（如找中间比代换等）；（注意：当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用引平行线的方法。）思考题：如图，已知D，E和F，G分别在△ABC的边AB，AC上，DF//EG//BC，AD=DE=EB，则S梯形DEGF∶S梯形EBCG=（）A，B，C，D，ADFEGBC32535494〖例题讲解〗例1、如图（4），已知ＡＤ⁄⁄ＢＣ，ＡＥ：ＡＢ＝１：３，ＥＦ⁄⁄ＢＣ，且Ｓ△ＡＤＥ＝１，求Ｓ△ＢＣＥ和Ｓ△ＡＥＦ分析：由已知ＡＤ⁄⁄ＢＣ⁄⁄ＥＦ得△ＤＡＥ∽△ＢＣＥ，联想到相似三角形的面积比等于相似比的平方。由ＡＥ：ＡＢ＝１：３，则ＡＥ：ＥＢ＝１：２∴Ｓ△ＤＡＥ：Ｓ△ＢＣＥ＝１：４从而Ｓ△ＢＣＥ=4又∵同高的两个三角形面积比等于底边之比，∴Ｓ△ＥＡＣ：Ｓ△ＢＣＥ＝ＡＥ：ＢＥ＝１：２，∴Ｓ△ＡＣＥ＝２，Ｓ△ＡＢＣ＝６，又Ｓ△ＡＥＦ：Ｓ△ＡＢＣ＝１：９，Ｓ△ＡＥＦ＝２／３。例2.有一块三角形余料ABC,它的BC=120mm，高线AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？CBDPQNMAF解：正方形的边长为xmm，则PN∥BC△APN∽△ABCAE：AD＝PN：BC80-x：80＝x：120得x=48（mm）答：正方形的边长为48mm。变题1：增加条件QM=42mm，把正方形PQMN换成矩形PQMN，试求矩形PQMN的面积.CBDPQNMAFCBDPQNMAF变题2：增加条件QM:MN=3:2，把正方形PQMN换成矩形PQMN,试求矩形PQMN的面积与三角形的面积比.变题3：把正方形PQMN换成矩形PQMN，试求矩形PQMN的最大面积CBDPQNMAF例1：已知：⊿ABC中，D是BC上一点，EG∥BC,分别交AB,AD,AC与E,F,G.求EF×DC=FG×BDABCEFGD分析：将等积式改写成比例式：EF/BD=FG/DC,设法利用相似三角形解得EF/BD=AF/AD,FG/DC=AF/AD.证明:在⊿AEF和⊿ABD中,∵EF∥BD,∴⊿AEF∽⊿ABD∴EF/BD=AF/AD.同理FG/DC=AF/AD.∴EF/BD=FG/DC∴EF×DC=FC×BD.例2:如图AB,CD交于O点,AC∥BD,E是A点,EO的延长线交BD于F点.求证F是BD的中点.AOBDFEC分析:利用AE=CE,设法找到BF,DF与AE,CE的联系,即证出AE/BF=CE/DF.证明:∵AC∥BD∴⊿AOE∽⊿BOF∴AE/BF=CE/DF.同理CE/DF=EO/FO,∴AE/BF=CE/DF∵AE=CE,∴BF=DF.即F是BD的中点.例3:如图ABC是等边三角形,∠DAE=120°交直线BC于D,E求证AB/EC=BD/AC.ADBCE123分析:将线段AB,EC,BD,AC划归到两个三角形中,再设法证明它们相似,从而对应边成比例.利用60°120°证明⊿ABD∽⊿ECA.例4:如图,⊿ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E是AB中点.求证2CE=CD.ABCED分析:设法利用三角形相似加以解决.EC,DC划归到哪两个相似三角形去?如何证明?请讨论.证明:∵AB=AC=BD,AE=EB,∴AE/AC=AC/AD=1/2,∠EAC=∠DAC,∴⊿AEC∽⊿ACD,∴AE/AC=EC/CD=1/2.即2EC=CD.例5,已知,ABCD中,E是CB延长线上的点,.DE交AB于F.求证BC×CD=AF×CE.AFEBCD分析：⊿ADF∽⊿CED得AD/CE=AF/CD，再由AD=BC，等量代换即可。例6：如图，⊿ABC中，D是BC上的一点，E是AC上的一点，EF∥AD交BC于F，EG∥AB交BC于G。求证：CF×GB=CG×FD。ABCEFDG分析：将CF×GB=CG×FD改写为CF/FD=CG/GB。利用平行线，可推出CF/FD=CE/EA，CG/GB=CE/EA，借助于等比代换即可。〖课内追踪练习〗１、如图（６），△ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________答案：１：３：５〖巩固练习〗1、两个相似三角形的面积比为5，周长比为m，则5/m=_____2、如图（8），AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AD和BC相交于E，EF⊥AB于F，已知AC=20，BD=30，则EF的长为____答案：（1）5答案：（2）123.若如图所示，△ABC∽△ADB，那么下列关系成立的是()A.∠ADB=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.∠CDB=∠CABD.∠ABD=∠BDC4.△ABC中，AC=6，BC=4，CA=9，△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′最短为12，则它的最长边的长度为()A.16B.18C.27D.24BC练习5.(2004年·上海市)如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC，DE//BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是()A.△DBEB.△ADEC.△ABDD.△AECB6．(2004·西宁)如图，正方形ABCD边长是2，BE＝CE,MN=1,线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM=时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。55255或7.如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连