正弦定理余弦定理习题及答案

1正余弦定理1．在ABC中，AB是sinsinAB的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2、已知关于x的方程22coscos2sin02CxxAB的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是（）（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.3、已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.4、如图，在△ABC中，若b=1，c=3，23C，则a=。5、在ABC中，角,,ABC所对的边分别为a，b，c，若2a，2b，sincos2BB，则角A的大小为．6、在ABC中，,,abc分别为角,,ABC的对边，且274sincos222BCA（1）求A的度数（2）若3a，3bc，求b和c的值7、在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.8、如图，在△ABC中，已知3a，2b，B=45求A、C及c.1、解：在ABCAB中，2sin2sinsinsinabRARBAB，因此，选C．2、【答案】由题意可知：211coscoscos2sin222CCAB，从而2coscos1cos()1coscossinsinABABABABCAB13232coscossinsin1ABAB，cos()1AB又因为AB所以0AB，所以ABC一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B、A的大小，求出C，从而求出sin.C【规范解答】由A+C=2B及180ABC得60B，由正弦定理得13sinsin60A得1sin2A，由ab知60AB，所以30A，180CAB90，所以sinsin901.C4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。【思路点拨】对C利用余弦定理，通过解方程可解出a。【规范解答】由余弦定理得，222121cos33aa，即220aa，解得1a或2（舍）。【答案】1【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】先根据sincos2BB求出B，再利用正弦定理求出sinA，最后求出A.【规范解答】由sincos2BB得12sincos2BB，即sin2B1，因为0B，所以B=45，又因为2a，2b，所以在ABC中，由正弦定理得：22=sinAsin45，解得1sinA2，又ba，所以AB=45，所以A=30.【答案】30°或66．【答案】由题意得2721cos()2cos12BCA2721cos2cos12A∴1cos2A03A2221cos22bcaAbc223bcabc将3,3abc代入得2,bc由3bc及2bc，得1,2bc或2,1bc.7、【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可3将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0，sin(A-B)=0A-B=0∴A=B即△ABC为等腰三角形解法2:由余弦定理:22222222bcacbbacbcaa22ba∴ba即△ABC为等腰三角形.8、【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：由正弦定理得：23245sin3sinsinbBaA∵B=4590即ba∴A=60或120当A=60时C=7522645sin75sin2sinsinBCbc当A=120时C=1522645sin15sin2sinsinBCbc解法2：设c=x由余弦定理Baccabcos2222将已知条件代入，整理：0162xx解之：226x当226c时2)13(231226223)226(22cos2222bcacbA从而A=60，C=75当226c时同理可求得：A=120C=15.1.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.解：在△ADC中，cosC＝AC2＋DC2－AD22AC·DC＝72＋32－522×7×3＝1114，又0＜C＜180°，∴sinC＝5314在△ABC中，ACsinB＝ABsinC∴AB＝sinCsinBAC＝5314·2·7＝562.42.在△ABC中，已知cosA＝35，sinB＝513，求cosC的值.解：∵cosA＝35＜22＝cos45°，0＜A＜π∴45°＜A＜90°，∴sinA＝45∵sinB＝513＜12＝sin30°，0＜B＜π∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符.∴0°＜B＜30°cosB＝1213∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝35·1213－45·513＝1665又C＝180°－（A＋B）.∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－1665.3、在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状.解：在原等式两边同乘以sinA得2cosBsinAsinC＝sin2A，由定理得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin2A，∴sin2C＝sin2B∴B＝C故△ABC是等腰三角形.1.在△ABC中，若sinA＝sinB＋sinCcosB＋cosC，试判断△ABC的形状.解：∵sinA＝sinB＋sinCcosB＋cosC，∴cosB＋cosC＝sinB＋sinCsinA，应用正、余弦定理得a2＋c2－b22ac＋a2＋b2－c22ab＝b＋ca，∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋c），∴a2（b＋c）－（b＋c）（b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c）即a2＝b2＋c2故△ABC为直角三角形.2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：a2－b2c2＝sin（A－B）sinC.证明：由a2＝b2＋c2－2bccosA.b2＝a2＋c2－2accosB两式相减得a2－b2＝c（acosB－bcosA），∴a2－b2c2＝acosB－bcosAc2.又ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC，∴a2－b2c2＝sinAcosB－sinBcosAsinC＝sin（A－B）sinC.3.在△ABC中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc，并且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状.5解：由已知条件（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc及余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝（a＋b＋c）（b＋c－a）2（a＋b＋c）（b＋c－a）＝12∴A＝60°又由已知条件sinA＝2sinBcosC得sin（B＋C）＝sin（B＋C）＋sin（B－C）∴sin（C－B）＝0，∴B＝C于是有A＝B＝C＝60°，故△ABC为等边三角形.