中职教育-数学(基础模块)下册-第九章---立体几何.ppt

数学（基础模块）下册第九章立体几何现实世界中有各种各样形状的物体，但如果不管它们是什么物体，只观察它们的形状，把它们抽象成数学上的图形，那么这些图形都是由点、线、面构成的．点、线（特别是直线）、面（特别是平面）是空间的三种基本要素．空间中的许多图形都是由点、直线（或它的一部分）、平面（或它的一部分）构成的．•平面的基本性质9.1•直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质9.2•直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角9.3•直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质9.4•柱、锥、球及其简单组合体9.59.1平面的基本性质为了直观形象，我们通常用一个平行四边形来表示平面，并用小写的希腊字母αβγ，，，…来表示不同的平面．如图所示的两个平面，分别记作平面α和平面β．9.1.1平面的概念及表示数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形．有时也可用平行四边形的四个顶点字母或两个相对顶点字母来表示平面．如左图所示，平面α也可记作平面ABCD、平面AC或平面BD．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长，如左图所示．当平面竖直放置时，通常把平面画成矩形，如右图所示．例题解析例1如图所示正方体，分别表示出它的6个面．解正方体的6个面可以分别表示为：平面ABCD、平面A1B1C1D1、平面ABB1A1、平面BCC1B1、平面CC1D1D、平面ADD1A1．直线和平面都可以看作点的集合．如图所示，点AB，在直线l上，记作AlBl，；点AB，在平面α内，记作AαBα，；直线l在平面α内，记作lα．9.1.2平面的基本性质引例工人铺水泥地面时，用一根直尺来刮平．此时，直尺的下边紧贴地面，下边上的所有点都在地面上．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．引例教室的天花板和一面墙在墙角有一个公共点，观察可以发现，除了这个点外，它们还有其他的公共点，这些公共点的集合就是天花板和墙的交线．公理2如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，称这两个平面相交，这条公共直线称为两个平面的交线．如图所示，平面α和平面β相交，交线为l，记作αβl．引例一扇门采用两个合页和一把锁就可以固定；支承架常采用三个脚．公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面．这里“有且只有一个平面”，也就是“确定一个平面”．因此，公理3也可以简单地说成“不在同一直线上的三个点确定一个平面”．根据公理1和公理3，还可以得出以下三个推论：推论1经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面（如图（a）所示）．推论2经过两条相交直线，可以确定一个平面（如图（b）所示）．推论3经过两条平行直线，可以确定一个平面（如图（c）所示）．（a）（b）（c）证明如图所示，设直线ABBCCA，，两两相交，交点分别为BCA，，．相交直线AB与BC确定一个平面α，于是点A和点C都在平面α内，从而直线AC也在平面α内．因此，直线ABBCCA，，共面．例2证明：两两相交且不过同一个点的三条直线共面．例题解析9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质如图所示，观察教室里墙与墙的交线，可以发现，ABCD∥，11ABCD∥；AB与BC相交于点B；而AB与11AD，既不相交，也不平行，它们不同在一个平面内．9.2.1直线与直线平行1．直线与直线的位置关系空间两条直线有以下三种位置关系：相交——两直线在同一平面内，有且仅有一个公共点；平行——两直线在同一平面内，没有公共点；异面——两直线不同在任何一个平面内，没有公共点．画异面直线时，通常用一个或两个平面衬托，以显示出它们不共面的特点，如下图所示．如右图所示，将平面α内的四边形ABCD的两条边AD和DC，沿着对角线AC向上折起，使点D折叠到1D的位置．此时，1ABCD，，，四点不在同一个平面内，四边形1ABCD称为空间四边形．公理4平行于同一条直线的两条直线平行．2．直线与直线平行的判定与性质设abc，，为直线，若abbc∥，∥，则ac∥．abc，，三条直线两两平行，可以记为abc∥∥．上述公理也可以表述如下：例1如图所示，在空间四边形ABCD中，EFGH，，，分别为边ABBCCDDA，，，的中点．证明：四边形EFGH是一个平行四边形．证明因EF，分别为边ABBC，的中点，即EF为△ABC的中位线，所以EFAC∥，且12EFAC．同理可得GHAC∥，且12GHAC．因此，EFGH∥，且EFGH，即四边形EFGH是平行四边形．例题解析9.2.2直线与平面平行1．直线与平面的位置关系直线与平面有以下三种位置关系：直线在平面内——直线与平面有无穷多个公共点；直线与平面相交——直线与平面有且只有一个公共点；直线与平面平行——直线与平面没有公共点．直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外．2．直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．例2如图所示，αβCDαγEFβγABABα，，，∥，求证：CDEF∥．证明因为βγAB，所以直线AB为平面β和γ的交线．又因αβCDαγEF，，且ABα∥，根据直线和平面平行的性质定理可得ABCDABEF∥，∥．所以CDEF∥．例题解析9.2.3平面与平面平行1．平面与平面的位置关系空间两个平面的位置关系只有两种：如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．平面α和平面β平行，记作αβ∥．画两个互相平行的平面时，应使两个平行四边形的对应边分别平行，如图所示．相交——两个平面有一条公共直线．平行——两个平面没有公共点；2．平面与平面平行的判定与性质面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．面面平行判定定理的应用实例：用平板仪进行测量时，先要用水平仪在平板上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都居中，就说明平板和地面平行．例3如图所示空间四边形ABCD中，EFGH，，，分别为边ABBCCDDA，，，的中点，试判断平面EG与直线BD是否平行？平面EG与直线AC是否平行？例题解析解可以证明，四边形EFGH为平行四边形，即EFGH，，，四点共面．因EH，分别为边ABDA，的中点，故EHBD∥．又因直线EH在平面EG内，直线BD在平面EG外，所以，直线BD∥平面EG．同理可得直线AC∥平面EG．两个平面平行具有以下性质：定理1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．定理2如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．9.3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角9.3.1空间两条直线所成的角经空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，则这两条相交直线的夹角称为两条异面直线所成的角．如图（a）所示，直线ab，是异面直线，经过空间任意一点O，作直线ab，，并使aabb∥，∥，如图（b）所示，则ab，的夹角θ就是异面直线ab，所成的角．（a）（b）为了简便，点O可以在两条异面直线中的一条上选取．例如，在图中，点O选取在直线b上，过点O作aaa∥，与b所成的角θ就是异面直线ab，所成的角．例1如图所示正方体，求直线1BA和1CC所成角的大小．例题解析解因11CCBB∥，所以直线1BA和1BB所成的角就是直线1BA和1CC所成的角．因1145ABB°，所以直线1BA和1CC所成的角为45°．当空间两条直线所成的角为直角时，称这两条直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作ab．若空间两条直线互相垂直，则这两条直线可能相交（在同一个平面内），也可能不相交（是异面直线）．我们把和两条异面直线都垂直相交的直线称为两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度称为两条异面直线的距离．如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l与平面α垂直，记作lα．直线l称为平面α的垂线，垂线l与平面α的交点称为垂足．9.3.2直线与平面所成的角1．直线与平面相交画直线和平面垂直时，要把直线画成与平行四边形的横边垂直，如图所示，其中，点A是垂足．如图所示，过一点P向平面α作垂线，垂足A称为点P在平面α内的射影，点P与垂足A间的线段PA称为垂线段．直线PB与平面α相交但不垂直，称直线PB与平面α斜交，直线PB称为平面α的斜线，斜线PB与平面α的交点B称为斜足．点P与斜足B之间的线段PB称为点P到平面α的斜线段．过垂足A和斜足B的直线AB称为斜线在平面内的射影．可以看出，在从平面外一点向这个平面所作的垂线段和斜线段中，垂线段最短．因此，平面外一点P到平面α的垂线段的长称为点P到平面α的距离．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为斜线和平面所成的角．如图所示，θ即为直线l与平面α所成的角．特别地，如果直线与平面垂直，则规定它们所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则规定它们所成的角为0°．因此，直线与平面所成角的取值范围为[090]°，°或π[0]2，．例题解析例2自平面α外一点A作平面α的两条斜线ABAC，，如图所示，如果ABAC，和平面α所成的角相等，求证：ABAC．证明过点A作垂直于平面α的直线AD，垂足为D，连接DB，DC，则ABD和ACD分别是ABAC，与平面α所成的角．因在直角△ADB和△ADC中，有一条公共边AD，且ABDACD，所以Rt△ADB全等于Rt△ADC，于是有ABAC．例3如图所示，将10m高的旗杆PO直立在地面上，绳子PAPB，分别和地面成45°和60°．OAB，，都在地面上，求绳子PA和PB的长，以及它们在地面上的投影OA和OB的长．分析△POA和△POB是直角三角形，现知道一个锐角及PO的长度，利用三角函数可求出斜边的长度及斜线在地面上的投影OA和OB的长度．解由题意可知，在直角△POA和△POB中，45PAO°，6010PBOPO°，m，因此，斜边的长度分别为1014.14(m)sinsin45POPAPAO°，1011.55(m)sinsin60POPBPBO°．斜线在地面上的投影OA和OB的长度分别为1010(m)tantan45POOAPAO°，105.77(m)tantan60POOBPBO°．9.3.3平面与平面所成的角修筑水坝时，为了让水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度，如图所示；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面和地球赤道平面成一定的角度．因此，为了解决实际问题，我们需要研究两个平面所成的角．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．如左图所示，以直线l（或AB）为棱，两个半平面分别为αβ，的二面角记作二面角αlβ（或αABβ）．如右图所示的二面角还可以记作二面角MABN．以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角．右图中的MON和POQ都是二面角αlβ的平面角．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为0°；当二面角的两个半平面展开成一个平面时，规定二面角为180°，因此，二面角的取值范围为[0180]°，°或[0π]，．平面角是直角的二面角称为直二面角．例如，房间里的墙面和地面所成的二面角都是直二面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多大，则这个二面角就是多大．例4如图所示棱锥，PD平面ABC，PEABDEAB，，且3PD，△PAB为等边三角形，其边长为4，求二面角PABC的大小．解因AB为二面角PABC的棱，且PEABDEAB，，所以，PED为二面角PA