数学必修2圆与方程知识点专题讲义

1必修二圆与方程专题讲义一、标准方程222xaybr1.求标准方程的方法——关键是求出圆心,ab和半径r2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）二、一般方程2222040xyDxEyFDEF1.220AxByCxyDxEyF表示圆方程，则222200004040ABABCCDEAFDEFAAA2.求圆的一般方程方法①待定系数：往往已知圆上三点坐标条件方程形式圆心在原点2220xyrr过原点2222220xaybabab圆心在x轴上2220xayrr圆心在y轴上2220xybrr圆心在x轴上且过原点2220xayaa圆心在y轴上且过原点2220xybbb与x轴相切2220xaybbb与y轴相切2220xaybaa与两坐标轴都相切2220xaybaab2②利用平面几何性质涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理3.2240DEF常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系dr点在圆内；dr点在圆上；dr点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值minPBBNBCrmaxPBBMBCr（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPAANrACmaxPAAMrAC思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）3.以1122(,),(,)AxyBxy为直径两端点的圆方程为1212()()()()0xxxxyyyy四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离没有公共点0dr（2）相切只有一个公共点0dr（3）相交有两个公共点0dr32.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味圆心C到直线l的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及注意点．．．i）点在圆外如定点00,Pxy，圆：222xaybr，[22200xaybr]第一步：设切线l方程00yykxx第二步：通过drk，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了.如：过点1,1P作圆2246120xyxy的切线，求切线方程.答案：3410xy和1xii）点在圆上若点00xy，在圆222xaybr上，则切线方程为200xaxaybybr注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.③求切线长：利用基本图形，22222APCPrAPCPr求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1ACAPACrkk3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题(最短,最长)：垂径定理．．．．及勾股定理4（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆22235xyr上有且仅有两个点到直线4320xy的距离为1，则半径r的取值范围是_________________.答案：4,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d为圆心距）（1）12drr外离（2）12drr外切（3）1212rrdrr相交（4）12drr内切（5）12drr内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110xyDxEyF，圆2C：222220xyDxEyF，则1212120DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程.注：若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程.3．圆系问题（1）过两圆1C：221110xyDxEyF和2C：222220xyDxEyF交点的圆系方程为22221112220xyDxEyFxyDxEyF（1）注：1）上述圆系不包括2C；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0AxByC与圆220xyDxEyF交点的圆系方程为220xyDxEyFAxByC（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题5①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线六、对称问题1.若圆222120xymxmym，关于直线10xy，则实数m的值为____.答案：3（注意：1m时，2240DEF，故舍去）变式：已知点A是圆C:22450xyaxy上任意一点，A点关于直线210xy的对称点在圆C上，则实数a_________.2.圆22131xy关于直线0xy对称的曲线方程是________________.变式：已知圆1C：22421xy与圆2C：22241xy关于直线l对称，则直线l的方程为_______________.3.圆22311xy关于点2,3对称的曲线方程是__________________.4.已知直线l：yxb与圆C：221xy，问：是否存在实数b使自3,3A发出的光线被直线l反射后与圆C相切于点247,2525B？若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由.七、最值问题方法主要有：（1）数形结合；（2）代换例：已知实数x，y满足方程22410xyx，求：（1）5yx的最大值和最小值；——看作斜率（2）yx的最小值；——截距（线性规划）（3）22xy的最大值和最小值.——两点间的距离的平方八、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.6例：过圆221xy外一点2,0A作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OPAPOA（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动动点主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例：如图，已知定点2,0A，点Q是圆221xy上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.