三角恒等变换(难)

三角恒等变换一、基本内容1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan对正切的和角公式有其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2sincos.2222cos2cossin2cos112sin.22tantan21tan.要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，22cos1sin,22cos1cos22这两个形式常用。3．简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、sin20cos40cos20sin40的值等于（）A.14B.32C.12D.342、若tan3，4tan3，则tan()等于（）A.3B.3C.13D.13考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、cos5cos52的值等于（）A．41B．21C．2D．44、已知02A，且3cos5A，那么sin2A等于（）A.425B.725C.1225D.2425考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知,41)4tan(,52)tan(则)4tan(的值等于（）（A）1813（B）223（C）2213（D）1836、已知,31coscos,21sinsin则)cos(值等于（）（A）127（B）1817（C）7259（D）721097、函数22()cos()sin()11212fxxx是（）（A）周期为2的奇函数（B）周期为2的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数三、解题方法分析1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例1设2132tan13sin50cos6sin6,,,221tan132cos25abc则有（）A.abcB.abcC.acbD.bca2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其质，它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们达到三角恒等变换的目的。（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例2．已知2π＜β＜α＜4π3，cos（α－β）=1312，sin（α+β）=－53，求sin2α的值．例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·2sin80．（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例4：已知sin（α+β）=32，sin（α－β）=43，求2tan()tantantantan()的值．。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例5：若,22sinsin求coscos的取值范围。3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点（学生尝试）【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例6：已知：向量(3,1)a，(sin2,bxcos2)x，函数()fxab（1）若()0fx且0x，求x的值；（2）求函数()fx取得最大值时，向量a与b的夹角．四、作业1．sin165º=（）A．21B．23C．426D．4262．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（）A．23B．21C．23D．213．已知(,0)2x，4cos5x，则x2tan（）A．247B．247C．724D．7244．化简2sin（4π－x）·sin（4π+x），其结果是（）Ａ．sin2xＢ．cos2xＣ．－cos2xＤ．－sin2x5．sin12—3cos12的值是（）A．0B．—2C．2D．2sin1256．)(75tan75tan12的值为A．32B．332C．32D．3327．若3cos25，4sin25，则角的终边一定落在直线（）上。A．7240xyB．7240xyC．2470xyD．2470xy8．._________sinsincoscos9．15tan115tan1＝10．tan20tan403tan20tan40的值是.11．求证：2cos1sin24cottan22．12．已知1tan23，求tan的值．13．已知,135)4sin(,40xx求)4cos(2cosxx的值。14．若,0A,且137cossinAA,求AAAAcos7sin15cos4sin5的值。15．设)0(cossin)(xbxaxf的周期为T,最大值4)12(f.(1)求ba,,的值;(2)若,为方程0)(xf的两根,且,的终边不共线,求)tan(的值.