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目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束第一章二、复合函数一、基本初等函数第二节初等函数三、初等函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束幂函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数定义:函数称为幂函数,其中x是yx自变量,是常数.一、基本初等函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束画出12312,,,,yxyxyxyxyx的图像目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束定义域值域奇偶性单调性定点yx2yx3yx12yx1yxRRR[0,){|0}xxRR[0,)[0,){|0}yy奇函数奇函数非奇非偶偶函数奇函数增函数增函数[0,)为增函数,为减函数(,0][0,)为增函数(,0)(0,)为减函数(1,1)目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束幂函数的性质:•所有幂函数都经过第一象限,并且都通过点(1,1),但不通过第四象限.yx(0,)•当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数.•当时,幂函数经过原点(0,0),在为增函数.0•当时,在为减函数,图像向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近.(0,)0•当时,1y0函数为常数函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束定义:函数叫做指数函数,其中是一个大于0,且不等于1的常量,函数的定义域是R.xyaxya(0,1)aaxR指数函数a目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束0a1a1图象性质定义域:值域:(0,)(,)当x=0时,y=1,即过点(0,1)在上是减函数(,)在上是增函数(,)当x0时,当x0时,1y01y当x0时,当x0时,1y01y目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束求的反函数(,0,1)xyaxRaa(0,)解:xyalogaxy反函数为:logayx(0,0,1)xaa()xxRya的值域为,即0y对数函数定义域:(0,)对数函数换底公式:logaxlnlnxa0,AAlnAe目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束0a1a1图象性质(1,0)(1,0)定义域:值域:(0,)(,)当x=1时,y=0,即过点(1,0)在上是减函数(0,)在上是增函数(0,)当0x1时,当x1时,当0x1时,当x1时,0y0y0y0y目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束三角函数常用公式三角函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束f(x)=sinxf(x)=cosx图象定义域值域最值f(x)=0223xy02-1-1223xy021-1RR[1,1][1,1])(22Zkkx时ymax=1)(22Zkkx时ymin=1)(2Zkkx时ymax=1)(2Zkkx时ymin=1)(Zkkx)(2Zkkx目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束f(x)=sinxf(x)=cosx图象周期性奇偶性单调性22奇函数偶函数)](22,22[Zkkk)](223,22[Zkkk)](2,2[Zkkk)](22,2[Zkkk单调增区间:单调减区间:单调增区间:单调减区间:xx目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束23223tanyx目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束定义域:值域:周期性:奇偶性:单调性:|,2xxkkZ,,22kkkZ全体实数R正切函数是周期函数,正切函数在开区间内都是增函数。tan()tan()xx正切函数是奇函数,正切曲线最小正周期T=关于原点0对称正切函数的性质:目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束xyo22cotyx目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束定义域:值域:周期性:奇偶性:单调性:|,xxkkZ,,kkkZ全体实数R余切函数是周期函数,余切函数在开区间内都是减函数。cot()cot()xx余切函数是奇函数,正切曲线最小正周期T=关于原点0对称余切函数的性质:目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束正割函数余割函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束yOxy=sinxxyOy=cosxyOy=tanxxOy=cotxxy目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束xyOy=ArcsinxOy=Arccosxxy1Oy=Arctanxxyx1Oyy=Arccotx反三角函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束Oy211x2反正弦函数arcsinyx定义域:[-1,1][,]22值域:奇偶性:奇函数单调性:在[-1,1]单调递增arcsinyx有界性:有界函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间.目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束Oy11x2反余弦函数arccosyx定义域:[-1,1][0,]值域:奇偶性:无单调性:在[-1,1]单调递减arccosyx有界性:有界函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束⑷反余切函数arccot()yxxR,值域为(0,)目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束xyarctanyx2o2反正切函数arctanyx定义域:(,)22值域:奇偶性:单调性:在单调递增,)(有界性:有界函数,()奇函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束cotyarcx反余切函数arccotyx定义域:(0,)值域:奇偶性:单调性:在单调递减,)(有界性:有界函数,()无目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;——复合条件)2arcsin(2xy二、复合函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,uy,cotvu.2xv目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束()()(),\{|()0,}()ffxxxDxgxxDggx函数的运算,则我们可以定义这两个函数的12DDD设函数的定义域依次为1,D2,D(),fx()gx下列运算::fg商和(差):fg()()()(),;fgxfxgxxD积:fg()()()(),;fgxfxgxxD目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束三.初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,,2xyy0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P12–P13)目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束非初等函数举例:符号函数当x0当x=0当x0xyO11取整函数当xyO412321目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例1是由哪些函数复合而成的.解目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例2分析下列复合函数的结构:⑵y=ue,vusin,tv,12xt.例3设2)(xxf,xxg2)(,求[],)(xgf[])(xfg.解f[g(x)]=[g(x)]2=(x2)2=x4,g[f(x)]=)(2xf=22x.解目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束设函数,1,1,13)(xxxxxf)]([xff1)(,1)(3xfxfx换为f(x)1)(,)(xfxf0x0,49xx1)13(3x10,13xx1,xx例4..)]([xff求解:目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束内容小结1.基本初等函数的性质第二节2.复合函数3.初等函数的结构目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束作业P131(1)(2);2(3);4
本文标题:高等数学-初等函数
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