三重积分习题课-1

一、三重积分的计算二、重积分的应用重积分习题课（二）第九章三重积分一、主要内容三重积分一、三重积分的概念1．定义:niiiiivfdvzyxf10),,(lim),,(2．物理意义:),,(dvzyxM的空间物体的质量。表示体密度为),,(zyx二、三重积分的性质三、三重积分的计算方法1．利用直角坐标计算),,(),,(dxdydzzyxfdvzyxf（1）“先一后二”法}),(),,(),(|),,{(21Dyxyxzzyxzzyx则),(),(21),,(),,(yxzyxzDdzzyxfdxdydxdydzzyxf若为在面上的投影区域Dxoy（2）“先二后一”法其中是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个zDz平面闭区域，则zDccdxdyzyxfdzdxdydzzyxf),,(),,(21}),(,|),,{(21zDyxczczyx若2．利用柱面坐标计算若}),()(),,(),(|),,{(2121zzzz则(,,)(cos,sin,)fxyzdxdydzfrrzrdrddz2211()(,)()(,)(cos,sin,)rzrrzrddrfrrzrdz3．利用球面坐标计算若}),()(),,(),(|),,{(2121rrrr),,(dxdydzzyxf则2sin)cos,sinsin,cossin(ddrdrrrrf),(),(2)()(2121sin)cos,sinsin,cossin(rrdrrrrrfdd四、三重积分的应用1．几何应用2．物理应用（1）质量),,(dvzyxM（2）质心1dvxMx1dvyMy1dvzMzdvV空间立体的体积（3）转动惯量22)(dvzyIx22)(dvzxIy22)(dvyxIz五、三重积分的解题方法计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标三种坐标计算。通常要判别被积函数和积分区域),,(zyxf所具有的特点。如果被积函数222(,,)()fxyzgxyz积分区域的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果被积函数，则可采用先重后单法计算；如果)(),,(zgzyxf被积函数，积分区域为柱或的投影)(),,(22yxgzyxf是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，则采用直角坐标计算。六、典型例题【例1】设有一物体，占有空间闭区域{(,,)|01,01,01}xyzxyz在点处),,(zyx的密度为，计算该物体的质量。zyxzyx),,(解:由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为),,(dvzyxM)(dxdydzzyx101010)(dzzyxdydx23解:（如图）在平面上的投影域.xoyxyD10,10:xxyDxy的上顶曲面为，1yxz1【例2】计算三重积分其中为平面，3)1(zyxdxdydz0x，，，所围成的四面体。0y0z1zyx下顶曲面为。0z2xyz111oxyD3)1(zyxdxdydzyxxdzzyxdydx1031010)1(1xdyyxdx10210)1(141211011214121dxxx852ln2111z=0ozxx+y=1y。。z=xy【例3】所围成的区域与:z,yxxyzzyxzyxIddd32计算解:(1)求（如图）在平面上的投影区域为xoyxyD10,0:xxyDxy(2)确定上顶曲面及下顶曲面。12(3)转化为先对后对的三次积分计算：zyx,dxdydzzxy32xyDdzzxydxdyxy032xyDdxdyyx6541xdyyxdx065104136411xyz:20:z【例4】计算三重积分。其中是由曲面dvyx)(22zyx222及平面所围成的闭区域。2z解：积分区域的如图所示。在柱面坐标下2:2,02,022rzr故有dvyx)(2222222002rddrrdz316xyz【例5】计算三重积分.其中是由锥面zdxdydz22yxRhz与平面所围成的闭区域。hz)0,0(hR解法1：利用“先二后一”方法计算。由于，}0,),(|),,{(hzDyxzyxzxyzoRRhzDxyzoRRhzD其中，故22222:hzRyxDzzdxdydzzDhdxdyzdz0hdzhzRz0222hdzzhR03222241hR解法2：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下:,0,02hrzhrRR故有zdxdydz200RhhrRddrzrdz2222012()2RhrhrdrR2241hR注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但“先二后一”法相对简便。【例6】计算三重积分，其中是由圆锥面zdxdydz22yxz与上半球面所围成的闭区域。222yxRz.用哪种坐标？解法一:利用柱面坐标计算在柱面坐标下22:,20,022rzRrrRxyzo4Rrzdxdydz2222200RRrrddrzrdz2222012(2)2RrRrdr故有481R注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。解法二:利用球面坐标计算zdxdydz2R34000sincosddrdr481R【例7】求，其中是由球面dxdydzzyxI)(222zzyx222所限定的球域。在球面坐标系下，解：积分区域的图形如图。20,20,cos0:rxyzo211故有dxdydzzyxI)(222cos0222020sindrrrdd205sincos512d12)cos61(2206【例8】计算三重积分。其中是由球面dvyx)(22222yxAz222yxaz)0(aA和平面所确定的闭区域。0zxyzAAao解：积分区域的图形如图。在球面坐标系下20,20,:Ara故有dvyx)(22Aadrrrdd2222020sinsinAadrrdd420320sin)(5132255aA)(15455aA【例9】计算三重积分其中是两个球体dxdydzz22222Rzyx及的公共部分。Rzzyx2222)0(R解法1：利用球面坐标计算。用圆锥面将分成两部分321其中20,23,cos20:1Rr20,30,0:2RrxyzR2Ro于是，得dxdydzz22122dxdydzzdxdydzzcos202222320sincosRdrrrddRdrrrdd02223020sincos548059R解法2：利用柱面坐标计算。由于在平面的投影区域；xoy43:222RyxDxy故在柱面坐标下，22223:,0,022RRRrzRrr于是有dxdydzz22222322200RRrRRrddrzrdz32232223202[()()]3RrRrRRrdr548059R解法3：用“先二后一”法计算。用平面将积分区域划分为两部分：，其中2Rz21}20,),(|),,{(1RzDyxzyxz}2,),(|),,{(2RzRDyxzyxz2222:zRyxDz2222:zRzyxDz于是，得dxdydzz22122dxdydzzdxdydzzzzDRRDRdxdyzdzdxdyzdz220RRRdzzRzdzzRzz22222022)()2(548059R注：从上面三种解法的计算过程中不难发现，虽然此题可用三种方法来求解，但其中的“先二后一”法最为简便。所围成的．与由其中，计算22221)(yxzyxzdvzx解利用球面坐标的奇函数，为面为对称，关于xxzyxfyoz),,(.0xdv有zdvdvzx)(1024020sincosdrrrdd.8【例10】【例11】设，计算，10,1:22zyxdvyxez]3)tan([32解：dvyxez]3)tan([32dvyxez)tan(32dv3dv303xyzo11