人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结

1滁州市第二中学第二章《数列》基础知识小结一、数列的概念与表示方法1、数列的概念按照一定顺序排列的一列数叫做数列。2、数列的通项公式如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.3、通项公式的作用①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.4、数列的分类①根据数列项数的多少分——有穷数列、无穷数列②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列5、数列的递推公式如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。6、数列前n项和的定义一般地，我们称𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，用𝑆𝑛表示，即𝑆𝑛=𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛二、等差数列与等比数列等差数列等比数列1、定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母𝑞(𝑞≠0)表示。2、等差（比）中项由三个数𝑎，𝐴，𝑏组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，𝐴叫做𝑎与𝑏的等差中项.若𝐴是𝑎与𝑏的等差中项，则𝐴=𝑎+𝑏2。如果在𝑎，𝑏两个数中间插入一个数𝐺，使𝑎，𝐺，𝑏成等比数列。这时，𝐺叫做𝑎与𝑏的等比中项.①、𝑎与𝑏是两个同号的非零实数②、若𝐺是𝑎与𝑏的等比中项，则𝐺2=𝑎𝑏3、判断等差（比）数列的方法①𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=𝑑②2𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑎𝑛+1(𝑛≥2)③𝑎𝑛=𝑝𝑛+𝑞①𝑎𝑛𝑎𝑛−1=𝑞(𝑞≠0，𝑛≥2)②𝑎𝑛2=𝑎𝑛−1∙𝑎𝑛+1(𝑛≥2)③𝑎𝑛=𝑐𝑞𝑛(𝑐≠0，𝑞≠0)4、等差（比）数列的通项公式①𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑②𝑎𝑛=𝑎𝑚+(𝑛−𝑚)𝑑③𝑎𝑛=𝑝𝑛+𝑞，其中𝑝、𝑞是常数①𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1②𝑎𝑛=𝑎𝑚𝑞𝑛−𝑚③𝑎𝑛=𝑐𝑞𝑛(𝑐≠0，𝑞≠0)5、性质1在等差数列{𝑎𝑛}中，若已知𝑎𝑚与𝑎𝑛，其中𝑚，𝑛∈𝑁∗，则该数列的公差𝑑=𝑎𝑛−𝑎𝑚𝑛−𝑚。若等比数列{𝑎𝑛}中，公比是𝑞(𝑞≠0)，则𝑎𝑛𝑎𝑚=𝑞𝑛−𝑚。6、性质2在等差数列{𝑎𝑛}中，若𝑚+𝑛=𝑝+𝑞且𝑚、𝑛、𝑝、𝑞∈𝑁∗，则𝑎𝑚+𝑎𝑛=𝑎𝑝+𝑎𝑞。特别地、在等差数列{𝑎𝑛}中，若2𝑠=𝑝+𝑞且𝑠、𝑝、𝑞∈𝑁∗，则2𝑎𝑠=𝑎𝑝+𝑎𝑞。在等比数列{𝑎𝑛}中，若𝑚+𝑛=𝑠+𝑡（𝑚，𝑛，𝑠，𝑡∈𝑁∗），则𝑎𝑚∙𝑎𝑛=𝑎𝑠∙𝑎𝑡。特别地，等比数列{𝑎𝑛}中，若2𝑚=𝑠+𝑡（𝑚，𝑠，𝑡∈𝑁∗），则𝑎𝑚2=𝑎𝑠∙𝑎𝑡。2滁州市第二中学7、性质3等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，若𝑚、𝑛、𝑘∈𝑁∗，则𝑎𝑚，𝑎𝑚+𝑘，𝑎𝑚+2𝑘，…，𝑎𝑚+(𝑛−1)𝑘，…构成一个公差𝑘𝑑为等差数列（其中𝑚与𝑘为常数）。在等比数列{𝑎𝑛}公比为𝑞(𝑞≠0)中，若𝑚，𝑘∈𝑁∗，则𝑎𝑚，𝑎𝑚+𝑘，𝑎𝑚+2𝑘，…，𝑎𝑚+(𝑛−1)𝑘，…构成一个公比为𝑞𝑘的等比数列。8、性质4若数列{𝑎𝑛}与{𝑏𝑛}分别是公差为𝑑1和𝑑2的等差数列，则数列{𝑝𝑎𝑛+𝑞𝑏𝑛}（𝑝，𝑞是常数）是公差为𝑝𝑑1+𝑞𝑑2的等差数列。若{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}分别是公比为𝑝和𝑞的等比数列，则数列{𝑎𝑛∙𝑏𝑛}，{𝑎𝑛𝑏𝑛}仍是等比数列，它们的公比分别为𝑝𝑞，𝑝𝑞。9、等差（比）数列的单调性①若𝑑0，则{𝑎𝑛}为递增数列；②若𝑑0，则{𝑎𝑛}为递减数列；③若𝑑=0，则{𝑎𝑛}为常数列。①当𝑞=1时，{𝑎𝑛}为常数列；②当𝑞0时，{𝑎𝑛}为摆动数列；③当𝑞1，𝑎10时，{𝑎𝑛}为递增数列；④当𝑞1，𝑎10时，{𝑎𝑛}为递减数列；⑤当0𝑞1，𝑎10时，{𝑎𝑛}为递减数列；⑥当0𝑞1，𝑎10时，{𝑎𝑛}为递增数列。10、等差（比）数列的前n项和公式①𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2②𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)2𝑑当𝑞=1时，𝑆𝑛=𝑛𝑎1；当𝑞≠1时，𝑆𝑛=𝑎1−𝑎𝑛𝑞1−𝑞或𝑆𝑛=𝑎1(1−𝑞𝑛)1−𝑞11、前n项和的性质1①当𝑑=0时，𝑆𝑛=𝑎1𝑛，是关于𝑛的一个缺少常数项的一次函数，数列{𝑆𝑛}图象是直线𝑦=𝑎1𝑥上一群孤立的点；②当𝑑≠0时，𝑆𝑛=𝑑2𝑛2+(𝑎1−𝑑2)𝑛，是关于𝑛的一个缺少常数项的二次函数，数列{𝑆𝑛}图象是抛物线𝑦=𝑑2𝑥2+(𝑎1−𝑑2)𝑥上一群孤立的点。①当𝑞=1时，𝑆𝑛=𝑛𝑎1，数列{𝑆𝑛}的图象是函数𝑦=𝑎1𝑥上的一群孤立的点；②当𝑞≠1时，𝑆𝑛=𝑎1(1−𝑞𝑛)1−𝑞=𝑎11−𝑞−𝑎11−𝑞𝑞𝑛，设𝐴=𝑎11−𝑞，则𝑆𝑛=𝐴−𝐴𝑞𝑛，此时，数列{𝑆𝑛}的图象是函数𝑦=𝐴−𝐴𝑞𝑥的图象上一群孤立的点。12、前n项和的性质2等差数列前𝑛项和的性质2：等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，前𝑛项和为𝑆𝑛，那么数列𝑆𝑘，𝑆2𝑘−𝑆𝑘，𝑆3𝑘−𝑆2𝑘，⋯（𝑘∈𝑁∗）是等差数列，其公差等于𝑘2𝑑。等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，前𝑛项和为𝑆𝑛，那么数列𝑆𝑘，𝑆2𝑘−𝑆𝑘，𝑆3𝑘−𝑆2𝑘，⋯（𝑘∈𝑁∗）是等比数列，其公比等于𝑞𝑘。13、前n项和的性质3等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，项数为2𝑛（𝑛∈𝑁∗）项，则①𝑆2𝑛=𝑛(𝑎𝑛+在等比数列中，若项数为2𝑛3滁州市第二中学𝑎𝑛+1)，②𝑆偶−𝑆奇=𝑛𝑑，③𝑆奇𝑆偶=𝑎𝑛𝑎𝑛+1；等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，项数为2𝑛−1（𝑛∈𝑁∗）项，则①𝑆2𝑛−1=(2𝑛−1)𝑎𝑛，②𝑆奇−𝑆偶=𝑎𝑛，③𝑆奇𝑆偶=𝑛𝑛−1.（𝑛∈𝑁∗），则𝑆偶𝑆奇=𝑞三、典型题型小结1、三（四）个数成等差（比）的设法四个数成等差数列常设为𝑎−3𝑑，𝑎−𝑑，𝑎+𝑑，𝑎+3𝑑，公差为2𝑑。若三个数成等差数列常设为𝑎−𝑑，𝑎，𝑎+𝑑，公差为𝑑。已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数分别为𝑎𝑞，𝑎，𝑎𝑞，其中𝑞为公比。若已知四个数成等比数列及这个四个数的积时，一般不设为𝑎𝑞3，𝑎𝑞，𝑎𝑞，𝑎𝑞3，因为这种设法使得四个数的公比为𝑞2，就漏掉了公比为负数的情形，造成漏解。2、求数列最大（小）值的方法一般方法——解不等式{𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛𝑎𝑛+1；或{𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛𝑎𝑛+1特别地，若{𝑎𝑛}为等差数列，𝑆𝑛为它的前n项的和时，求𝑆𝑛的最大（小）值可以利用①二次函数的性质；②{𝑎𝑛}中项的符号。3、求数列通项的常用方法①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；②公式法：利用𝑎𝑛={𝑆1(𝑛=1),𝑆𝑛−𝑆𝑛−1(𝑛≥2).求通项公式③根据递推公式求通项公式：（1）迭代法：对于形如𝑎𝑛=𝑓(𝑎𝑛−1)型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使𝑎𝑛与初始值𝑎1(或𝑎2)建立联系的方法就是迭代法．（2）累加法：形如𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑓(𝑛)的递推公式可用𝑎𝑛−𝑎1=(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1)+(𝑎𝑛−1−𝑎𝑛−2)+⋯+(𝑎3−𝑎2)+(𝑎2−𝑎1)=𝑓(𝑛−1)+𝑓(𝑛−2)+⋯+𝑓(2)+𝑓(1)求出通项；（3）累乘法：形如𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑓(𝑛)的递推公式可用𝑎𝑛=𝑎𝑛𝑎𝑛−1∙𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2∙⋯∙𝑎3𝑎2∙𝑎2𝑎1∙𝑎1=𝑓(𝑛−1)∙𝑓(𝑛−2)∙⋯∙𝑓(2)∙𝑓(1)∙𝑎1求出通项；（4）形如𝑎𝑛+1=𝑝𝑎𝑛+𝑓(𝑛)(𝑝≠0，𝑎1=𝑎)形式可用待定系数法。4滁州市第二中学4、数列求和的常用方法①公式求和法：公式法是数列求和的最常用方法之一，可直接利用等差数列、等比数列的求和公式，也可利用常见的求前𝑛项和的公式，如：1+2+3+⋯+𝑛=12𝑛(𝑛+1)；12+22+32+⋯+𝑛2=16𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)②错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，则求此数列的前𝑛项和时一般采用(乘公比𝑞)错位相减法．如若公比是字母，须对𝑞=1或𝑞≠1进行讨论．③裂项相消法：把数列的通项裂成两项之差后求和，正负项相消，剩下首尾若干项．使用此方法时必须搞清楚消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．如：(1)1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1，(2)1(2𝑛−1)(2𝑛+1)=12(12𝑛−1−12𝑛+1)，(3)1𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)=12[1𝑛(𝑛+1)−1(𝑛+1)(𝑛+2)]，(4)1√𝑎+√𝑏=1𝑎−𝑏(√𝑎−√𝑏)。④倒序相加法：当把一个数列倒过来排序，与原数列对应项相加后有公因式可提，且余下的项容易求和，这时一般可用倒序相加法求其前𝑛项和．⑤分组求和法：有些数列，通过适当拆项或分组后，可得到几个等差或等比数列，这样就可利用公式法进一步求和了．⑥已知等差数列{𝑎𝑛}，求数列{|𝑎𝑛|}的方法。