中南大学线性代数试卷

考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设4321,,,AAAAA为四阶方阵，其中)4,3,2,1(iAi为A的第i个列向量,令14433221,,,AAAAAAAAB，则B。2、设A为三阶方阵，A为A的伴随矩阵，且3||A，则|)(|1A。3、设2531312311112ttA，且2)(AR，则t。4、若n阶方阵A有特征值，则EaAaAaAAfkkk0111)(必有特征值。5、若二次型yzxzaxyzyxf2223222经正交变换化为22214yyf，则a。二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A是n阶方阵，则0||A的必要条件是（）。（A）A中两行（列）元素对应成比例；（B）A中有一行元素全为零；（C）任一行元素为其余行的线性组合；（D）必有一行元素为其余行的线性组合。2、设A是n阶对称阵，B是n阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（）（A）BAB；（B）ABA；（C）ABAB；（D）BABA。3、设向量组，，，，，，，，，TTTt31321111321当t（）时，向量组321，，线性相关。（A）5（B）4（C）3（D）24、设A为34矩阵，321,,是非齐次线性方程组bAx的3个线性无关的解向量，21,kk为任意常数，则非齐次线性方程组bAx的通解为（）。（A）)(212132k；（B）)(212132k；（C）)()(213212132kk；（D）)()(213212132kk。5、设方阵20001011kkA是正定矩阵，则必有（）。（A）0k；（B）1k；（C）2k；（D）1k。三、（本题8分）计算行列式xaxaxaann00010000100011210，其中1,,2,1,0,0niai。四、（本题12分）设XAEAX2，且101020101A，求矩阵X及1X，其中1X为1X的伴随矩阵，E为单位矩阵。五、（本题14分）设向量组TTT531110101321，，，，，，，，不能由向量组,1111T，，,3,2,12TTk,4,33线性表示。（1）求向量组321，，的一个极大无关组；（2）求k的值；（3）将向量1用321，，线性表示。六、（本题14分）设齐次线性方程组（Ⅰ）为004221xxxx，已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为TTkk1,2,2,10,1,1,021。（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。七、（本题14分）设矩阵110010000010010xA，（1）已知A的一个特征值为，2求x；（2）求方阵P，使APAPT为对角阵。八、（本题8分）试证明：n阶矩阵1112bbbbbbbbbaA的最大特征值为])1(1[2bna，其中10b。参考答案一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、91；3、4；4、)(f；5、1。二、选择题（本题15分，每题3分）1、D；2、B；3、A；4、C；5、B.三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘x后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：原式=122110nnnnaxaxaxa。四、（本题12分）解：由XAEAX2，得：EAXEA2)(，)(,01001010100EAEA可逆，故201030102EAX；由于09X，201030102911)(1111XXXXX。五、（本题14分）解：（1）令),,(321A，3)(,01ARA，则321,,线性无关，故321,,是向量组321，，的一个极大无关组；（2）由于4个3维向量)3,2,1(321ii，，，线性相关，若321，，线性无关，则i可由321，，线性表示，与题设矛盾；于是321，，线性相关，从而5,0531421311||321kkk，，。（3）令110040102001151113101101),,,(1321B，321142。六、（本题14分）解：（1）1010100110100011A，所以方程组（Ⅰ）的基础解系为：TT1,0,1,1,010021，，，；（2）设2413211,2,2,10,1,1,0kkkkTT，即00001100101010011010012110211010,010100121102110104321kkkk，故上述方程组的解为Tk)1,1,1,1(，于是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解为：)0()1,1,1,1(为任意常数kkT。七、（本题14分）解：（1）0)1(111111110010000100122xxxAE，将2代人上式，得1x；（2）由（1）得1100110000010010A，显然A为实对称阵，而2200220000100001AAT令212AOOAAAAT，显然2AAAT和也是实对称阵，1A是单位阵，由0422222AE，得2A的特征值4021，，2A属于1对应的特征向量为T)11(1，，单位化：T)2222(1，，2A属于2对应的特征向量为T)11(2，，单位化：T)2222(2，，取22220022220000100001P，则有4000000000100001)(PAAPAPAPTTT。八、（本题8分）证明：由0)1(22122222222222222banabaaabababababaababababaaAEn得A的特征值)1(],)1(1[23221babnan，nab3212,0,10，故A的最大特征值是])1(1[21bna。考试试卷2闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。2、若A为4阶矩阵，且A=21，则*12)3(AA=。3、设A=kkkk111111111111，且R（A）=3，则k=。4、已知向量,=（1,2,3），=（1，31,21，），设A=T，则An=。5、设A为n阶方阵，AA,0为A的伴随矩阵，E为n阶单位阵，若A有特征值EA2,）则（必有特征值。二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A，B,C为n阶方阵，E为n阶单位阵，且ABC=E，则下列各式中（）不成立。（A）CAB=E(B)ECAB111(C)BCA=E(D)EBAC1112、设A,B均为n阶非零矩阵，且AB=O，则它们的秩满足（）。（A）必有一个等于零（B）都小于n(C)一个小于n，一个等于n（D）都等于n3、下列命题中正确的是（）（A）在线性相关的向量组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关（B）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关（C）任何n+k个n维向量（k1）必然线性相关（D）若只有mkkk,,21全为零时，等式01111mmmmkkkk才成立，且m21,线性无关，则m21,线性无关4、设T)1,2,1(1，,)1,1,1(2T则3=（）时，有321,,为3R的基（A）T)2,1,2(（B）T)1,0,1(（C）T)0,1,0(（D）T)1,0,0(5、设二次型的矩阵为kA20211012，且此二次型的正惯性指数为3，则（）（A）k8(B)k7(C)k6(D)k5三、（10分）计算n阶行列式111111111111nD,并求该行列式展开后的正项总数。四、（10分）设EAX=XA2,且101020101A，求矩阵)(1XX及，其中11)(XX为的伴随矩阵，E为单位矩阵。五、（本题14分）设有向量组02311，314072，10123，26154，(1)求该向量组的秩；(2)求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。六、（本题14分）设向量)1,1,1(，（1）求3阶方阵TA的特征值与特征向量；（2）求一正交矩阵AQQQT使,为对角矩阵。七、（本题14分）设矩阵22222112121cbaA，（1）问是正交矩阵为何值时Acba,,；（2）当A是正交矩阵时，求方程组111AX的解。八、（本题8分）证明：n21，，，维列向量组n线性无关的充要条件是nTnTnTnnTTTnTTTD2122212121110其中niiTi,,2,1的转置，表示向量。参考答案一、填空：（每小题3分，共计15分）1、0；2、8132；3、-3；4、123332123121131nA；5、12A。二、选择：（每小题3分，共计15分）1、D2、B3、C4、D5、A三、（本题10分）（练习册P117）解：1......22...221..................221...0210...00121311nccnccnccD，设nD展开式中正、负项总数分别为,,21xx则!21nxx，1212nxx，于是正项总数为)!2(2111nxn。四、（本题10分）解：由XAEAX2，得：EAXEA2)(,)(,01001010100EAEA可逆，故201030102EAX；由于,09X.2010301029111111XXXXX。五、（本题14分）解：将矩阵4321,,,化为最简形阶梯形矩阵000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）3,,,4321R；（2）321,,为所求的一个最大线性无关组，且32143132。六、（本题14分）解：A=111111111T，0)3(2AE（1）A的特