数学研究性学习报告

研究性学习报告——探索勾股定理一、什么是勾股定理。在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。如图：图1图2如图1，我国古代一般都把直角三角形中，短的一条直角边叫做“勾”，长的一条直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。所以，我国古代把直角边与斜边关系所形成的定理，叫做勾股定理（a2+b2=c2）图（2）中的直角三角形ABC中，设勾AB=3，股BC=4，弦AC=5。按照勾股定理，三条边的关系为：32＋42=52所以如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为a、b，把斜边记为c，那么它们之间的关系式是：a2+b2=c2即在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这就是我国最古老的数学书籍《周髀算经》（约成书于公元前一世纪左右）一开始就指出的：“勾三、股四、弦五”。这是直角三角形的三条边长都是整数时的例证。古希腊数学家毕达哥拉斯也证明了这个定理。所以在国外，常把这个定理称为毕达哥拉斯定理。勾股定理在中国又称为商高定理，在外国称为毕达哥拉斯定理。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。什么是勾、股呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作商高定理。毕达哥拉斯是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为毕达哥拉斯定理，以后就流传开了。勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。二、勾股定理的验证。1.我国历代数学家关于勾股定理的论证。我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：将四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。2.利用现在的方法也能证明勾股定理。如图(3)：延长CB到H,使CH=AB,以C为顶点，CH为一边，作∠GCH=∠CAB,且使CG=AC,以AC,CG为两边，过G做GD∥AC,过A做AD∥CG，再过D点作DE⊥AB于E,过G做GF⊥DE与F∵∠GCH=∠CAB，∠ABC=90∴∠CAB+∠ACB=90∠GCH＋∠ACB=90既：∠ACG=90又∵GD∥AC，AD∥CG，且CG=AC∴四边形ACGD为正方形.∴AC=CG=GD=AD,∠ACG=∠CGD=∠ADG=∠CAD.∵DE⊥AB，∠B=90,∴DE∥CH,∴CH⊥GF于H∴∠HGC+∠HCG=90∵∠ACB+∠HCG=90∴∠HGC=∠ACB.∴可得：ΔABC≌ΔCHG同理可证得：ΔABC≌ΔCHG≌ΔGFD≌ΔDEA∴CH=GF=DE=AB,DF=AE=BC=GH∴EF=FH=HB=EB∴四边形EFHB为菱形又∵GF⊥DE∴四边形EFHB为正方形设CH=GF=DE=AB=a,DF=AE=BC=GH=b,AC=CG=GD=AD=c∴S正方形EFHB=(a－b)2=S正方形ACGD－4•SΔACB=c2－2ab整理：a2－2ab+b2=c2－2aba2+b2=c2既AB2+BC2=AC2三、名人与勾股定理。毕达哥拉斯在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯的影响是最大的。他那传奇般的一生给后代留下了众多神奇的传说。毕达哥拉斯生于萨摩斯(今希腊东部小岛)，卒于他林敦(今意大利南部塔兰托)。他既是哲学家、数学家，又是天文学家。他在年轻时，根据当时富家子弟的惯例，他曾到巴比伦和埃及去游学，因而直接受到东方文明的熏陶。回国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派。这个学派的活动都是秘密的，笼罩着一种不可思议的神秘气氛。据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派。该学派还有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。毕达哥拉斯定理(即勾股定理)是毕达哥拉斯的另一贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用。此外，毕达哥拉斯在音乐、天文、哲学方面也做出了一定贡献，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空之中。小故事:西方的勾股定理之父——毕达哥拉斯毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。赵爽与勾股圆方图中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2.则可得4×（ab/2）+（b-a）2=c2化简后便可得：a2+b2=c2即c=a2+b2赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”