高等数学 对坐标的曲面积分

1小结思考题作业预备知识概念的引入概念与性质对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系surfaceintegral第五节对坐标的曲面积分2观察以下曲面的侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧1.有向曲面通常光滑曲面都有两侧.如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等.(假设曲面是光滑的)对坐标的曲面积分一、预备知识3n有两侧的曲面.规定(1)双侧曲面2.曲面的分类法向量的方向来区分曲面的两侧.对坐标的曲面积分4(2)单侧曲面莫比乌斯(Mobius)带.B、C粘在一起形成的环不通过边界可以这在双侧曲面上是不能实现的.决定了侧的曲面称为它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起，行带.小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去.有向曲面.对坐标的曲面积分Mobius(1790--1868)19世纪德国数学家53.有向曲面在坐标面上的投影.)(表示投影区域的面积其中xy设Σ是有向曲面.,S曲面为面上的投影在xySxOyS)(xyS)(时当0cosxy)(时当0cosxy)(时当0cos0恰好等于与坐标面xOy的二面角.S假定cosS的余弦上各点处的法向量与z轴的夹角有相同的符号.在有向曲面取一小块上对坐标的曲面积分6类似地,可定义在yOz面及zOx面的投影:S,)(yzS,希自己写出,)(xySS在xOy面上的投影在xOy面上的投影区域的面积附以一定的S实际上就是正负号.zxS)(、与坐标面恰好等于yOzSzOx的二面角.对坐标的曲面积分7流向曲面一侧的流量.vcos||vA流量实例(为平面A的单位法向量)n(斜柱体体积)nvA(1)流速场为常向量,v有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).对坐标的曲面积分二、概念的引入AAn8(2)设稳定流动的不可压缩流体kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(给出,函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP上连续，都在流体的密度与速度均不随时间而变化(假定密度为1)的速度场由v当不是常量,有向曲面求在单位时间内流向指定侧的流体的质量.是速度场中的一片有向曲面,对坐标的曲面积分9xyzoiSivin分割则该点流速为，iv法向量为.in),,(iiiiSn小块分成把曲面同时也代表iS(),小块曲面的面积第i上任取一点在iS),,,(iii),,(iiiivvkRjQiPiiiiiiiii),,(),,(),,(对坐标的曲面积分10常向量,有向平面i求和niiiiSnv1取近似该点处曲面Σ的单位法向量似值为流向指定侧的流量的近通过iSiiiSnv).,,2,1(ni高底iScos||vAnvA对坐标的曲面积分通过Σ流向指定侧的流量kjiniiiicoscoscos),cos(||iiinvv11iiiiiiiiiniiiiiSRQP]cos),,(cos),,(cos),,([1]))(,,())(,,())(,,([1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP取极限0.的精确值取极限得到流量yziiiSS)(coszxiiiSS)(cosxyiiiSS)(cos对坐标的曲面积分12,为光滑的有向曲面设,上有界函数在块小同时又表示第块小曲面分成把iSSnii(),曲面的面积,)(xyiiSxOyS面上的投影为在,),,(上任意取定的一点是iiiiS如果各小块时，曲面的直径的最大值01.定义三、概念与性质定义对坐标的曲面积分13nixyiiiiSR10))(,,(lim上在有向曲面函数),,(zyxR的曲面对坐标yx,积分或称yxzyxRdd),,(被积函数积分曲面存在,则称此极限为第二类曲面积分.nixyiiiiSR10))(,,(lim记作,dd),,(yxzyxR即如曲面为封闭曲面:yxzyxRdd),,(对坐标的曲面积分14类似可定义zyzyxPdd),,(xzzyxQdd),,(niyziiiiSP10))(,,(limnizxiiiiSQ10))(,,(lim2.存在条件对坐标的曲面积分存在.),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP当在有向光滑上曲面连续,对坐标的曲面积分153.组合形式yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),,(dd),,(dd),,(4.物理意义yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),,(dd),,(dd),,(如:上述流向Σ指定侧的流量φ为:对坐标的曲面积分165.性质21ddyxR1ddyxR2ddyxRyxRkRkdd)(2211yxRyxRdddd21),(21为常数kkyxzyxRdd),,(yxzyxRdd),,((1)(2)(3)1k2k对坐标的曲面积分当曲面ΣyxRdd(4)是母线平行于z轴的柱面时,0表示Σ相反的一侧,,的曲面积分性质对坐标zxyz.也有类似的结果17Oyxz对坐标的曲面积分),(yxzz所给出方程),(yxzz,xyD上在xyDyxzz),(上侧,四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面Σ是由的曲面Σ在xOy面上的投影区域为函数具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,y,z)在Σ上连续.xyDxys)(sdn18yxzyxRdd),,(,取上侧nixyiiiiSR10))(,,(limyxzyxRdd),,(Σ取上侧nixyiiiiSR10))(,,(lim,0cos),(iiiz又nixyiiiiizR10)))(,(,,(limyxyxRdd],,[即xyD),(yxz对坐标的曲面积分xyxyiS)()(19,取下侧若yxzyxRdd),,(则有给出由如果,),(zyxxzyzyxPdd),,(则有给出由如果,),(xzyyxzzyxQdd),,(对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的,0cosxyxyis)()(xyDyxyxzyxRdd)],(,,[yzDzyzyzyxPdd],),,([zxDxzzxzyxQdd]),,(,[注侧.对坐标的曲面积分20计算对坐标的曲面积分时:(1)认定对哪两个坐标的积分,将曲面Σ表为这两个变量的函数,并确定Σ的投影域.(2)将Σ的方程代入被积函数,化为投影域上的二重积分.(3)根据Σ的侧(法向量的方向)确定二重积分前的正负号.对坐标的曲面积分21xyzO解两部分和分成把21;1:2211yxz,1:2222yxz21投影域)0,0(1:22yxyxDxy对坐标的曲面积分例计算yxxyzdd其中Σ是球面1222zyx外侧在0,0yx的部分.2ddddyxxyzyxxyz1ddyxxyzxyDyxyxxydd122xyDyxyxxydd)1(2222xyDyxyxxydd1222xyDdd1cossin222极坐标d1sincosd2210320.152)0,0(1:22yxyxDxy对坐标的曲面积分xyDyxyxxydd122xyDyxyxxydd)1(2223xyzO)0,0,(a)0,,0(a),0,0(aO例,dddddd222yxzxzyzyx计算其中Σ是所围成的正方体的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3先计算zyxdd2由于平面都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.解ayyazz,0,,0)0(,,aazayax三个坐标面与平面外侧.对坐标的曲面积分Σ124x=a面在yOz面上的投影为正,而x=0面在yOz面上的投影为负.投影域均为:0≤y≤a,0≤z≤a,故zyxdd2zyyzDdd024ayzDzyadd2由x,y,z的对等性知,所求曲面积分为3a4.yzDzyadd2后两个积分值也等于a4.对坐标的曲面积分xyzO)0,0,(a)0,,0(a),0,0(aOΣ2Σ4Σ5Σ6Σ3Σ125),(yxzz,xyD上在xyDyxzz),(设有向曲面Σ是由方程函数具有一阶连续偏导数,给出,五、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分Σ在xOy面上投影区域为yxzyxRdd),,(xyDyxyxzyxRdd)],(,,[对坐标的曲面积分为被积函数R(x,y,z)在Σ上连续.Oyxz),(yxzzxyD26,1cos22yxxzzz,1cos22yxyzzz2211cosyxzz曲面Σ的法向量的方向余弦为yxzzSyxdd1d22对面积的曲面积分为SzyxRdcos),,(xyDyxyxzyxRdd)],(,,[SzyxRyxzyxRdcos),,(dd),,(所以(注意取曲面的两侧均成立)对坐标的曲面积分yxzyxRdd),,(xyDyxyxzyxRdd)],(,,[27yxRxzQzyPdddddd两类曲面积分之间的联系类似可得SzyxPzyzyxPdcos),,(dd),,(SzyxQxzzyxQdcos),,(dd),,(不论哪一侧都成立.SRQPd)coscoscos(对坐标的曲面积分其中coscoscos、、是有向曲面Σ在点),,(zyx处的法向量的方向余弦.28解zyxzdd)(2有上在曲面,,1cos22yxxSxzdcos)(2cos)(2xz,dddd)(2yxzzyxz计算介于平面是旋转抛物面其中)(2122yxz例之间的部分的及20zz下侧.2211cosyx对坐标的曲面积分yxxxzdd))((2nSzydcosddcosddyxyxzzSyxdd1d22cosyxddxyzO229yxzzyxzdddd)(2xyDyxyxxdd)](21[2222022220d)21cos(dxyDyxyxxxyxdd)}(21)(])(41{[22222yxzxxzdd]))([(28)(2122yxz对坐标的曲面积分zyxzdd)(2yxxxzdd))((2yxyxxxyDdd)(41222由对称性0nxyzO230例,dd)(ddddyxzxxzyzyx计算其中Σ解法一直接用对坐标的曲面积分计算法.且其投影区域分别为由于Σ取上侧,yzyDyz220,10:xzxDzx220,10:xyxDxy10,10:222zyx是平面在第一卦限部分的上侧.面的投影xOyzOxyOz,,在所以都是正的,对坐标的曲面积分xyzO31yzyDyz220,10:xzxDzx220,10:xyxDxy10,10:zzyyyd)21(d10220zzxxxd)