欧拉积分及其应用

1欧拉积分及其简单应用引言：我们知道无穷级数是构造新函数的一种重要工具，利用它我们可以构造出处处连续而处处不可微的函数，还可以构造出能填满正方形的连续曲线（参见常庚哲、史济怀著《数学分析教程》第三册第17章§17.8）含参量积分是构造新函数的另一重要工具，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数。它虽身为含参量积分的一种特例，被教科书编用于加深对含参量积分所表示的函数的分析方法的理解。但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。欧拉积分包括：伽马（Gamma）函数：Γ(s)=01dxexxs,s0.-----------（1）贝塔（Beta）函数：B(p，q)=1011)1(dxxxqp，p0,q0-------------（2）下面我们分别讨论这两个函数的性质：一、B函数…………………Euler第一积分1、定义域：B(p，q)=1011)1(dxxxqp=21011)1(dxxxqp+12111)1(dxxxqp=1I+2I对1I=21011)1(dxxxqp当x→0时.1I=2101dxxp=21011dxxp其收敛须p0对2I=12111)1(dxxxqp.当x→1时，2I=1211)1(dxxq,令.1-x=t=2101dxtq=21011dxtq其收敛须.q0.B(p，q)定义域为p0,q0.2、连续性因为对p。0，q。0有11)1(qpxx≤1100)1(qpxxp≥p。,q≥q。而2101100)1(dxxxqp收敛，故由魏尔斯特拉斯M判别法知B(p，q)在p。≤p+∞,q。≤q+∞，上一致收敛，因而推得B(p，q)在p0,q0内连续。3、对称性B(p，q)=B(p，q)作变换x=1-y,得B(p，q)=1011)1(dxxxqp=1011)1(dyyyqp=B(q，p)4、递推公式B(p，q)=11qpqB(p，q-1)(p0,q1)……………(1)B(p，q)=11qppB(p-1，q)(p1,q0)……..(2)B(p，q)=)2)(1()1)(1(qpqpqpB(p-1，q-1)(p1,q1)…………(3)B(p，q)=B(p+1，q)+B(p，q+1)(p-1,q-1)…….(4)下面只证明(1)；(2)可由对称性及公式(1)推出；(3)、(4)可由公式(1).、(2.推得；当P0,q1时，有B(p，q)=1011)1(dxxxqp=101)1(1pqdxxp=101|)1(pxxqp+102)1(1dxxxpqqp=10211)1)](1([1dxxxxxpqqpp=1021)1(1dxxxpqqp−1011)1(1dxxxpqqp=pq1B(p，q−1)−pq1B(p，q)移项并整理得(1)5、B(p，q)的其他形式a,令x=t2cos则B(p，q)=2201212cossintdttpq特别的当p=q=21,B(p，q)=B(21，21)=3b.令x=t11当x:0→1有t:+∞→0B(p，q)=01)1(dtttqpq=01)1(dtttqpp=101)1(dtttqpp+11)1(dtttqpp考察01)1(dtttqpq,令t=y1,则有11)1(dtttqpp=−011)1(dtttqpq=101)1(dtttqpq.∴B(p，q)=1011)1(dttttqpqp二、Γ函数………………Euler第二积分1、定义域Γ(s)=01dxexxs=101dxexxs+11dxexxs=1I+2I其中1I=101dxexxs,当s≥1时是正常积分；当0s1时是收敛的无界函数反常积分（可用柯西判别法推得）2I=11dxexxs,当s0时是收敛的无穷限反常积分（也可用柯西判别法推得）；所以，Γ函数在s0时收敛，即定义域为s0.2、连续性在任何闭区间[a，b](a0)上，对1I，当0x≤1时有xsex1≤xaex1由于101dxexxa收敛，从而1I在[a，b]上一致收敛;对于2I，当1≤x+∞时，有xsex1≤xbex1,由于11dxexxs收敛，从而2I在[a，b]上也一致收敛，于是Γ(s)在s0上连续3、可微性01)(dxexsxs=01lnxdxexxs=01)ln(dxexxxs（利用狄利克雷判别法）它在任何闭区间[a，b](a0)上一致收敛.∴Γ(s)在[a，b]上可导.4由a，b的任意性，Γ(s)在s0上可导，且Γ’(s)=01lnxdxexxss0.依照上面的方法，还可推得Γ(s)在s0上存在任意阶导数：)(n(s)=01)(lndxxexnxs.s0.4、递推公式Γ(s+1)=sΓ(s)证：分部积分法Axsdxex0=Axsex0|+Axsdxexs01=AseA+Axsdxexs01设A→+∞，就得到Γ(s)的递推公式：Γ(s+1)=sΓ(s)设ns≤n+1，即0s−n≤1，应用递推公式n次可得到Γ(s+1)=sΓ(s)=s(s-1)Γ(s-1)=………….=s(s-1)(s-2)……(s-n)Γ(s-n)因Γ（1）=0dxex=1若s为正整数n+1，则Γ(n+2)=(n+1)n……..2Γ(1)=(n+1)！从上可以看出：（2）.Γ函数是阶乘的推广（x）！（2）．如果已知Γ（s）在0s≤1上的值，那么在其他范围内的函数值可由它计算出来，即可做出一个Γ函数值表三、Γ函数与Β函数之间的关系当m，n为正整数时，反复应用Β函数的递推公式可得：Β(m,n)=11nmnΒ(m,n-1)=11......2211mnmnnmnΒ(m,1)又由于Β(m,1)=1011mdxxm，所以Β(m,n)=11......2211mnmnnmn)!1()!1(1mmm=)!1()!1()!1(nmmn即Β(m，n)=)()()(mnmn一般地，对于任何正实数p、q也有相同的关系：Β(p,q)=)()()(qpqp证：对于Γ函数，令x=2u，则ududx2，于是0120122)(dueudxexpupxp，从而5)()(qp40122dxexxp0122dyeyyq=limR4Rxpdxex0122Ryqdyey0122令],0[],0[RRDR，由二重积分化为累次积分计算公式有RDyxqpdeyx)(121222=Rxpdxex0122Ryqdyey0122,所以)()(qplimR4RDyxqpdeyx)(121222=4Dyxqpdeyx)(121222………..(4)这里D为平面上第一象限部分。下面讨论（4）式右边的反常二重积分。记}0,0,|),{(222yxryxyxDr于是有)()(qp4Dyxqpdeyx)(121222=limr4rDyxqpdeyx)(121222，，对上式右边积分应用极坐标变换，则可得)()(qplimr420012122)(22)(sin)(cosrrqpqprdrerd=limr2201212)(sin)(cosdqprrqpdrer01)(222=2201212)(sin)(cosdqp·Γ(p+q)再由Β函数其他形式（a）就得到)()(qpΒ(p,q)Γ(p+q)四、在计算积分之中的应用1、积分值计算：例1、102dxxx解：原式=102121)1(dxxx=102123123)3()]23([)23,23()1(dxxx=824!2)]21(21[26参考文献：【1】、华东师范大学数学系，《数学分析》[M]，(上，下册)北京：高等教育出版社2007【2】、李铁木编著《分析提纲与命题证明》[M]，（第二册）北京：宇航出版社，1986【3】、费定辉，周学圣等，吉米多维奇数学分析习题集题解（五）[M]，济南：山东科学技术出版社，1999【4】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.【5】Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程[M].北京:高等教育出版社,1986.SolvingdefiniteintegralcalculationbyusingEulerintegralWangQing–GuoAbstract:Inthispaper,aimingatsolvingsomeverydifficultdefiniteintegralcalculationproblems,theseproblemsaretransformedintoEulerintegralthroughcertaintransformationatfirst,thentheseproblemsaresolvedeasilybyusingsomeofpropertiesofEulerintegral,soitprovidesaneffectivemethodofsolvingsomespecialtypesofdefiniteintegralcalculationtousKeywords:Eulerintegral;Г–function;В–function;