常系数齐次微分方程求解

山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂第七节常系数齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn二阶常系数齐次线性方程的标准形式0qyypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy二阶常系数齐次线性微分方程山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法0qyypy,rxey设将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想有特解rxey由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂有两个不相等的实根特征根为,2421qppr,2422qppr两个线性无关的特解,11xrey,22xrey得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy1.当042qp山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂2.当042qp时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:[1xre)(1urup0uq)2(211ururu是特征方程的重根0u取u=x,则得,12xrexy因此原方程的通解为xrexCCy1)(210)()2(1211uqrprupru山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂3.当042qp时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂小结:),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy2121实根xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar推广:山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例1.032yyy求方程的通解.解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为例2.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解:特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例3.xxo解:由第七节例1(P293)知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建00ddvtxt,00xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为自由振动方程,山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂方程:22ddtx02xk特征方程:,022krkir2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC故所求特解:tkkvtkxxsincos00A0xkv0方程通解:1)无阻尼自由振动情况(n=0)kvC020022020tan,vxkkvxA山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂解的特征:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率0dd00vtxt,000xxt下图中假设(仅由系统特性确定)山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼:nk这时需分如下三种情况进行讨论:2)有阻尼自由振动情况大阻尼:nk临界阻尼:n=k22ddtx02xktxndd2山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂(nk)小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形)sin(teAxtn运动周期:振幅:tneA衰减很快,随时间t的增大物体趋于平衡位置.山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂(nk)大阻尼解的特征:1)无振荡现象;222,1knnr其中22knn0.0)(limtxt此图参数:1,5.1kn5.10x073.50v2)对任何初始条件即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂(n=k)临界阻尼解的特征:任意常数由初始条件定,)()1tx最多只与t轴交于一点;取何值都有无论21,CC即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例4.的通解.解:特征方程,052234rrr特征根:irrr21,04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例5..0)4()5(yy解方程解:特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出,原方程有特解),,,,132xexxx山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂02)(22222rr例6..)0(0dd444wxw解方程解:特征方程:即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解:xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂例7..02)4(yyy解方程解:特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为则方程通解:山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂作业：P-340习题7-71(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3