§1反常积分的概念

第八章反常积分常义积分积分限有限被积函数有界推广反常积分(广义积分)§3瑕积分的性质与收敛判别准则§1反常积分的概念§2无穷积分的性质与收敛判别准则目录上页下页返回结束二、两类反常积分的定义第一节一、问题的提出反常积分的概念第八章目录上页下页返回结束21xyA1xyO一、问题的提出引例1.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作12dxxA其含义可理解为bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1目录上页下页返回结束引例2:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为10dlimxxA12lim0x)1(2lim02xy1AxyO目录上页下页返回结束定义1.设,),[)(aCxf,ab取若存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若,],()(bCxf则定义二、两类反常积分的定义目录上页下页返回结束,),()(Cxf若则定义xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该反常积分发散.目录上页下页返回结束引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛–莱公式的计算表达式:xxfad)()(xF)()(aFFxxfbd)()(xF)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF目录上页下页返回结束例1.计算反常积分解:]arctan[x)2π(2ππxy211xyO思考:分析:原积分发散!注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.目录上页下页返回结束例2.证明第一类p积分证:当p=1时有axlnappx11当p≠1时有1p1p,11pap当p1时收敛;p≤1时发散.,因此,当p1时,反常积分收敛,其值为;11pap当p≤1时,反常积分发散.目录上页下页返回结束例3.计算反常积分解:tppte原式0de1tptptppe1221p目录上页下页返回结束定义2.设,],()(baCxf而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若,),[)(baCxf而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,则定义则称此极限为函记作目录上页下页返回结束若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点c的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110xxfbcd)(lim220为瑕点(奇点).例如,间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义目录上页下页返回结束注意:若瑕点计算表达式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则,),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗?目录上页下页返回结束112dxx211111x下述解法是否正确:,∴积分收敛例4.计算反常积分解:显然瑕点为a,所以原式0arcsinaax1arcsin2π例5.讨论反常积分的收敛性.解:012dxx102dxx101x011x所以反常积分发散.目录上页下页返回结束例6.证明反常积分证:当q=1时,当q1时收敛;q≥1时发散.baaxln当q≠1时abqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当q1时,该广义积分收敛,其值为;1)(1qabq当q≥1时,该广义积分发散.目录上页下页返回结束例7.解：求的无穷间断点,故I为反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI322d)(1)(xxfxf积分.]2π]2ππ22732arctan目录上页下页返回结束内容小结1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的反常积分1p1p1q,,,)1(11pap目录上页下页返回结束说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,10121d122txxx102112)()d(xxxx022dtt(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.目录上页下页返回结束(3)有时需考虑主值意义下的反常积分.baxxfd)(v.p.),(bcac为瑕点xxfd)(v.p.xxfaaad)(limxxfxxfbccad)(d)(lim0常积分收敛.注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反其定义为目录上页下页返回结束备用题试证xxxxxd11d04204,并求其值.解:令xt1tttd1112014tttd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042目录上页下页返回结束xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx