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水木艾迪电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座503室1考研数学三十六技微积分上(三十六技之7-10)清华大学数学科学系刘坤林主讲三十六技之七:正确运用定积分性质,处理变限积分与含参积分的技巧积分定义四部曲,理解到位很重要。积分性质多醒悟,保序性质须知道。估值比较是推论,重要场合常用到。积分极限交叉题,需要脱掉积分号。积分式内有参数,处理方法有技巧。定积分的重要性质性质包括:积分的保序性(估值定理与比较性质)与中值定理、变限积分的连续性与可导性,还有变限积分的处理技巧,这些概念与方法广泛用于与积分有关的极限问题、等式与不等式证明等综合分析题目中。关于变限积分的两个重要结论(两把快刀):(1)若)(xf在],[ba上可积(常用的充分条件为:)(xf在],[ba上连续或分段连续),则变上限积分∫=xadttfxF)()(定义的函数在],[ba上连续。[注]此时)(xF不一定可导,因此)(xF不一定是)(xf在],[ba上的原函数。(2)若)(xf在],[ba上连续,则变上限积分∫=xadttfxF)()(定义的函数在],[ba上可导,且)()(xfdttfdxdxa=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫。同时,变下限积分∫bxdttf)(也是可导函数。且)()(xfdttfdxdbx−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫。【注】此时)(xF一定是)(xf在],[ba上的一个原函数。例7-1设),()(+∞−∞∈Cxf,0)(≥xf且∫=xdttfxf0)()(,则对)(xf在),0[+∞上错误的结论为()。(A)可微。(B))(xf严格单调增加。(C)有任意阶导数。(D)恒等于零。【解】答案(B)。(A)(C)显然正确。因为),()(+∞−∞∈Cxf,且∫=xdttfxf0)()(,所以)(xf可导,且)()(xfxf=′,解得xCexf=)(。由0)()0(00==∫dttff,解出0)0(==fC,因此0)(≡xf。因此(D)正确。处理含有参数积分问题的重要技巧(两把快刀):积分号内含有参数的问题是一类重要题型,这类问题往往需要对参数求导数。典型方法有两个(积分式内有参数,处理技巧有快刀):(1)当参数以因子形式出现在积分号内时,则将含参数的因子移到积分号外面,(2)如无法将含参数的部分移到积分号外面,则引入变量替换。水木艾迪电话:010-62701055010-62796032地址:清华大学创业大厦10062例7-2(2005-2-15:11分)设函数)(xf连续,且0)0(≠f,求极限dttxfxdttftxxxx)()()(lim000−−∫∫→【解析与点评1】本题主要考点是:(1)含参积分处理方法;(2)极限分析计算与罗必达法则;(3)变限积分求导数;(4)积分中值定理。水木艾迪考研辅导班教学中含有不少此类例题,可参见基础班综合辅导第2讲例2.21,例2.25,例2.27,水木艾迪考研辅导暑期强化班第4讲例39-43,例55-56等例题,系列教材《2005考研数学应试导引与进阶》中也有许多这样的典型例题和方法,如例6.74,例6.78,例7.22等。刘坤林等编写,清华大学出版社2004年7月出版。【解】首先取变换txu−=,则∫∫∫∫==−=−xxxxdttfduufudufdttxf0000)()()()()(,因此dttfxdtttfdttfxdttxfxdttftxxxxxxxx∫∫∫∫∫−=−−→→0000000)()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim0000xxfxfxfxxfdttfdttfxxxx+=+=→→∫∫ξξ21)0()0()0(=+=fff其中xξ0,0→x时0→ξ,上述第2个等号用了罗必达法则。例7-3已知)(xf连续,且20=→xxfx)(lim,设∫=10dtxtfxF)()(,求)(xF′,并讨论)(xF′的连续性。【解】首先由知)(xf连续及极限等式应有00=)(f,其次令0≠==xxdudtxtu,,,则有⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∫00010xxduufxxFx)()(当0≠x时,∫−−=′xdttftxxxxfxF0221)()()()(为连续函数。1200200===′→→∫xxfxduufFxxx)(lim)(lim)((导数定义!)因此,⎪⎩⎪⎨⎧=≠−−=′∫010)()2(1)()(02xxdttftxxxxfxFx水木艾迪电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座503室3)0(112)(1lim)(lim)(lim02000FudufxxxfxFxxxx′==−=−=′∫→→→,所以)(xF′在),(+∞−∞处处连续。例7-4设)(xf在),[∞+0上可导,00=)(f,其反函数为)(xg,若xxfxxexdtxtg2)()(∫+=−,求)(xf。【解】令dudtuxt==−,,xxfxxxfexduugdtxtg2)()(0)()(∫∫+==−对昀后一个等号两侧关于x求导数,注意到xxfg=))((,得到xxexxexfx22)(+=′,当0≠x时有xxxeexf+=′2)(,积分得到C)1(2)(+−+=xeexfxx由)(xf在0=x处连续,Cxfx=→)(lim0,又0)0(=f,解出1−=C,于是1)1(2)(−−+=xeexfxx。例7-5设]1,0[)(Cxf∈,证明∫∫∫++=+10010)(ln)()1(ln)(lnduufduufufdttxfx.【解】对右端采用区间变换:令utx=+,dudx=,则有∫∫∫∫−==+++xxxxduufduufduufdttxf010110)(ln)(ln)(ln)(ln,∫∫∫+−=+10011)(ln)(ln)(lnduufduufduufxx将∫+11)(lnxduuf化为形如∫x0的积分,令1−=uv,得到∫∫∫+=+=+xxxduufdvvfduuf0011)1(ln)1(ln)(ln,所以∫∫∫++=+10010)(ln)()1(ln)(lnduufduufufdttxfx。积分的保序性与比较性质的综合应用积分等式与不等式证明技巧例7-6设dxxxI∫=401tanπ,dxxxI∫=402tanπ,则(B).(A)121II。(B)211II。(C)112II。(D)121II。【解】注意到当]4,0(π∈x时,xxxftan)(=,22tansec)(xxxxxf−=′,0cossincossincossincos)(2222−−=′xxxxxxxxxxxf,)(xf单调增加。于是=∫dxxxI401tanπ1440=∫dxππ,另有xx22tan,水木艾迪电话:010-62701055010-62796032地址:清华大学创业大厦10064因此xxxxxxxxtan)tan(tantan2=,由积分比较性质,应选(B)。例7-7求极限dxxnxnn∫+−∞→1011sinlim.答案:111sin+。【解】dxxnxn∫+−1011sin∫∫+++=+=1021010111)sin(cossinsinxxdxxxxxdxnnn记dxxxxInn∫+=1021)sin(cos,则11010+=≤∫ndxxInn因此nnnnIdxxnx∞→−∞→++=+∫limsinsinlim1111101111sin+=例7-8极限=+∫+∞→xxtxdtet21lim()。(A)1.(B)0.(C)21.(D)不存在。【解】答案为(B)。由初等函数(xex,)性质,0∃X,使当0Xx,且]2,[xxt∈时,有tet+10xex+12,由积分保序性及比较性质得到xxxxxxtexxdtexdtet+=++∫∫12121022,应用夹逼定理,得到01lim2=+∫+∞→xxtxdtet。例7-9证明∫∫+≤+2020221cos1sinππdxxxdxxx.【证】(方法1:区间变换+估值定理)移项考虑:∫∫+−++−=2424021cossin1cossinπππdxxxxdxxxxI,对上述第二个积分令xt−=2π,则有∫+−=2021cossinπdxxxxI∫∫−+−++−=402402)2(1sincos1cossinπππdttttdxxxx∫−+−+−=4022])2(1111)[cos(sinππdttttt水木艾迪电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座503室50)2(1)1()4)(cos(sin40222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++−−=∫ππππdtttttt,(方法2:区间变换+中值定理)考虑∫+−=2021cossinπdxxxxI,∫∫+−++−=2424021cossin1cossinπππdxxxxdxxxxI∫−+=4021)cos(sin11πξdxxx∫−++2422)cos(sin11ππξdxxx其中)2,4(),4,0(21ππξπξ∈∈,对上述第二个积分令xt−=2π,则有∫−+−+=402221)cos(sin)1111(πξξdxxxI0)21)(1111(2221−+−+=ξξ例7-10设],[)(2baCxf∈,0)()(==bfaf,证明)(max4)(xfabdxxfbxaba≤≤−≥′′∫.【证】设)(max)(0xfxfbxa≤≤=,根据微分中值定理,分别有),(01xa∈ξ与),(01xa∈ξ使得),)(())(()()(01010axfaxfafxf−′=−′+=ξξ),)(())(()()(02020bxfbxfbfxf−′=−′+=ξξ注意到dxxfdxxfdxxfba∫∫∫′′≥′′≥′′2121)()()(ξξξξ))(()()()()()()(000000012axbxabxfaxxfbxxfff−−−=−−−=′−′=ξξ。)(max4xfabbxa≤≤−≥应注意二次函数级值问题:4)())(()(2000abaxbxxg−−≥−−=,所以4)())((200abaxbx−≤−−。例7-11设)(xf在],[20π上连续,)(xf′在),(20π内连续,且满足0202=⋅∫dxxfx)(cosπ,证明:存在),(20πξ∈与),(20πη∈,分别使得ξξξtan)()(ff2=′与ηηηtan)()(ff=′。水木艾迪电话:010-62701055010-62796032地址:清华大学创业大厦10066【证】首先由分部积分,=⋅∫dxxfx)(cos202π02220=′⋅+⋅−−∫dxxfxxfxxx))(cos)(sincos(π,由被积函数的连续性,则存在),(20πξ∈,使得022=′⋅+⋅−))(cos)(sincos(ξξξξξξff,其次,,cos0≠ξξ必有02=′⋅−⋅−))(cos)(sinξξξξff,即有ξξξtan)()(ff2=′。另由分部积分得到:=⋅∫dxxfx)(cos202πxdxfxsin)(cos∫⋅20πdxxxfxfxx))(sin)((cossin−′⋅−=∫20π020=⋅⋅−′⋅−=∫dxxffπηηηηsin))(sin)((cos,其中),(20πη∈。又,sin0120≠=⋅∫dxxπ因此0=⋅−′⋅))(sin)(cosηηηηff,即有ηηηtan)()(ff=′。例7-12设()fx在[,]()abab上连续,且()0bafxdx=∫,()0baxfxdx=∫,证明:至少存在两点1212,(,),xxabxx∈≠,使得12()()fxfx=成立。【证】设∫=xadttfxF)()(,则0)()(==bFaF,又∫∫∫−==babababadxxFxxFxxdFdxxxf)()()()(0
本文标题:2010年考研冲刺班微积分上(三十六技之7-10)
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