积分中值定理(开区间)证明的几种方法

积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f在[,]ab上连续，则(,)ab，使得()()()bafxdxfba。[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]ab，使得()()()bafxdxfba。于是[()()]0.bafxfdx由于函数()()()Fxfxf在[,]ab上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)ab，使得()()()0Fff，即()()ff。[证二]：令()()xaFxftdt，则()Fx在[,]ab上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)ab，使得()()()()FbFaFba，即结论成立。（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)ab，使得()()()bafxdxfba，由积分第一中值定理，知只能为a或b，不妨设为b，即1(,),()()()baxabfxfbfxdxba。由于f连续，故(,),xab()()fxfb（或()()fxfb），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x改为b）()()()().xbaafxdxfbdxfbba（这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。[证四]：设f在[,]ab上的最大值为M，最小值为m。若mM，则fc，可任取。若mM，则1[,]xab，有1()0Mfx，故[()]0baMfxdx，即()().bafxdxMba同理有()().bambafxdx由连续函数的介质定理知：(,)ab，使得1()().baffxdxba。注：以上方法有的能推广到定理9.8的证明，有的不能，再思考吧！