《经济数学——微积分》11-3

一、交错级数及其审敛法三、小结思考题第三节任意项级数的绝对与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu111)1()1(或定理1莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1nuunn;(ⅱ)0limnnu,则级数收敛,且其和1us,其余项nr的绝对值1nnur.)0(nu其中证明nnnnuuuuuus212223212)()(又)()()(21243212nnnuuuuuus1u,01nnuu.lim12ussnn,0lim12nnu,2是单调增加的数列ns,2是有界的数列ns)(limlim12212nnnnnuss,s.,1uss且级数收敛于和),(21nnnuur余项,21nnnuur满足收敛的两个条件,.1nnur定理证毕.解），，21(1111nunnunn0limnnu又故级数收敛..41312111的敛散性判别交错级数例例2判别级数21)1(nnnn的收敛性.解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0x,1单调递减故函数xx,1nnuu1limlimnnunnn又.0原级数收敛.注意1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？2.判定的方法nnuu1；0)11nnuu；）121nnuu.3）相应函数的单调性二、绝对收敛与条件收敛任意项级数正项级数任意项级数的各项取绝对值定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.问题:如何研究任意项级数的敛散性问题？绝对收敛：1.1nnu收敛；1nnu条件收敛：1.2nnu收敛；发散，11nnnnuu..31发散nnu任意项级数的敛散性定理2若1nnu收敛,则1nnu收敛.证明),,2,1()(21nuuvnnn令,0nv显然,nnuv且,1收敛nnv),2(11nnnnnuvu又1nnu收敛.例3判别级数12sinnnn的收敛性.解,1sin22nnn,112收敛而nn,sin12nnn收敛故由定理知原级数收敛.定理3如果任意项级数121nnnuuuu满足条件nnnuu1lim（其中可以为）则当1时，级数1nnu收敛，且绝对收敛；当1时，级数1nnu发散例4判别下列级数的收敛性:(1)0!nnnx;(2)12)!2()1(nnnnx;(3)nnxnn1!)1()1(解01||lim||!)!1(||limlim)1(11nxxnnxuunnnnnnn则此级数对一切)(xx绝对收敛0||)12)(22(1lim||)!22()!2(limlim)2(221xnnxnnuunnnnn||1limlim)3(1xxnnuunnnn则此级数对一切)(xx绝对收敛则当1||x时，级数收敛；当1||x时，级数发散，而1x时，级数是否收敛取决于为何值.三、小结任意项级数审敛法1.2.4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;;,则级数收敛若SSn;,0,则级数发散当nun思考题1设级数1||nnu收敛,能否推得1nnu收敛?反之是否成立?思考题1解答由级数||1nnu收敛，可以推得1nnu收敛,反之不成立.例如：11)1(nnn收敛,11nn发散.思考题2绝对收敛？若收敛是条件收敛还是是否收敛？）（）（判断级数211nnnn思考题解答发散；发散，而）（11212111nnnnnunnnu.1无效，所以莱布尼兹判定法但因不满足，，首先认定是交错级数下面判断是否条件收敛nnuu.此处可用定义证明()()()nsnn211111113254212()()nsnnn2111111123421221或ns21limnnss21；.原级数收敛,0lim12nnu所以ssnnlim.112条件收敛）（）（级数nnnn为单调递减数列。一、别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?1、1113)1(nnnn；2、5ln14ln13ln12ln1；3、2ln)1(nnnn.二、若nnun2lim存在,证明:级数1nnu收敛.三、证明:0!lim3nnnanb.练习题练习题答案一、1、绝对收敛；2、条件收敛；3、条件收敛.