球的体积和表面积公式具体推导过程

1..3.2球的体积和表面积（1）设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成n层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度nR，底面就是“小圆片”的下底面。由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径：22)]1([inRRri，（i＝1,2,3，···，n）第i层“小圆片”的体积为：V≈π2ir·nR＝2311ninR，（i＝1,2,3，···，n）半球的体积：V半径＝V1＋V2＋···＋Vn≈nR3{1＋（1－221n）＋（1－222n）＋···＋［1－22)1(nn］}＝nR3［n－2222)1(21nn］（注：)12)(1(6121222nnnn）＝nR3［n－6)12()1(12nnnn＝236)12)(1(1(nnnR）＝6)12)(11(13nnR①当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。事实上，n增大，n1就越来越小，当n无限大时，n1趋向于0，这时，有V半径＝332R，所以，半径为R的球的体积为：V＝334R1..3.2球的体积和表面积（2）球的表面积推导方法（设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法）（1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1，S2，……Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体”的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。（2）求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2，…，Vn那么球的体积为：V＝V1＋V2＋…＋Vn由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片”顶点的连线为棱。设它的高为hi，底面面积为S’i，于是，它的体积为：V’i＝31hiS’i，（i＝1,2,…，n）这样就有：Vi≈31hiS’i，（i＝1,2,…，n）V≈31（h1S’1＋h2S’2＋…＋hnS’n）①（3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么hi（i＝1,2,…，n）就趋向于R，S’i就趋向于Si，于是，由①可得：V＝31RS又V＝334R，所以，有334R＝31RS即：S＝4πR2