成人高考专升本高数试题

(满分150分。考试时间l20分钟。)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．（1）4(1)x的展开式中2x的系数为（A）4（B）6（C）10（D）20（2）在等差数列na中，1910aa，则5a的值为（A）5（B）6（C）8（D）10（3）若向量(3,)am，(2,1)b，0ab，则实数m的值为（A）32（B）32（C）2（D）6（4）函数164xy的值域是（A）[0,)（B）[0,4]（C）[0,4)（D）(0,4)（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（A）7（B）15（C）25（D）35（6）下列函数中，周期为，且在[,]42上为减函数的是（A）sin(2)2yx（B）cos(2)2yx（C）sin()2yx（D）cos()2yx（7）设变量,xy满足约束条件0,0,220,xxyxy则32zxy的最大值为（A）0（B）2（C）4（D）6（8）若直线yxb与曲线2cos,sinxy（[0,2)）有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（A）(22,1)（B）[22,22]（C）(,22)(22,)（D）(22,22)（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个（B）恰有3个（C）恰有4个（D）有无穷多个（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A）30种（B）36种（C）42种（D）48种二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．（11）设|10,|0AxxBxx，则AB=____________.（12）已知0t，则函数241ttyt的最小值为____________.（13）已知过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，2AF，则BF__.（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________.（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为(1,2,3)ii，则232311coscossinsin3333____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）已知na是首项为19，公差为-2的等差数列，nS为na的前n项和.（Ⅰ）求通项na及nS；（Ⅱ）设nnba是首项为1，公比为3的等比数列，求数列nb的通项公式及其前n项和nT.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.（18）（本小题满分13分），（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b+32c-32a=42bc.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos2ABCA的值.(19)(本小题满分12分),(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)已知函数32()fxaxxbx(其中常数a,b∈R),()()()gxfxfx是奇函数.(Ⅰ)求()fx的表达式;(Ⅱ)讨论()gx的单调性，并求()gx在区间上的最大值和最小值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（20）图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，2PAAB，点E是棱PB的中点.（Ⅰ）证明：AE平面PBC；（Ⅱ）若1AD，求二面角BECD的平面角的余弦值.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）已知以原点O为中心，(5,0)F为右焦点的双曲线C的离心率52e.（Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（21）图，已知过点11(,)Mxy的直线1l：1144xxyy与过点22(,)Nxy（其中21xx）的直线2l：2244xxyy的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OGOH的值.参考答案1-10BADCBACDDC二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．（11）解析：|1|0|10xxxxxx（12）解析：241142(0)ttytttt，当且仅当1t时，min2y（13）解析：由抛物线的定义可知12AFAAKFABx轴故AFBF2（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p（15）解析：232312311coscossinsincos33333又1232，所以1231cos32三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）解：（I）因为}{na是首项为,191a公差2d的等差数列，所以,212)1(219nnan2)1(19nnnS（II）由题意,31nnnab所以,1nnbb.21320)331(21nnnnnnST（17）解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有3026A种等可能的结果。（I）设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”则A包含的结果有623A种，故所求概率为.51306)(AP（II）设B表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”则B表示甲、乙两单位序号相邻，B包含的结果有10!25种。从而.3230101)(1)(BPBP（18）解：（I）由余弦定理得,3222cos222bcacbA又.31cos1sin,02AAA故（II）原式AAA2cos1)4sin()4sin(2AAA2sin2)4sin()4sin(2AAAAA2sin2)cos22sin22)(cos22sin22(2.27sin2cossin222AAA（19）解：（Ⅰ）由题意得.23)(2bxaxxf因此)(.)2()13()()()(22xgbxbxaaxxfxfxg因为函数是奇函数，所以,),()(xxgxg即对任意实数有],)2()13([))(2())(13()(2223bxbxaaxbxbxaxa从而的解析表达式为因此解得)(,0,31,0,013xfbaba.31)(23xxxf（Ⅱ）由（Ⅰ）知2,0)(,2)(,231)(122xxgxxgxxxg解得令所以，),2[],2,()(,0)(,22,22在区间从而时或则当xgxgxxx上是减函数；当,22时x,0)(xg从而)(xg在区间]2,2[上是增函数。由前面讨论知，,2,2,1]2,1[)(时取得能在上的最大值与最小值只在区间xxg而.34)2(,324)2(,35)1(ggg因此上的最大值为在区间]2,1[)(xg324)2(g，最小值为.34)2(g（20）（I）证明：如答（20）图1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB，由PA=AB知PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影，由垂线定理得BC⊥PB，从而PC⊥平面PAB，因AE⊥BP，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC。（II）解：由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE。在PABRt中，PA=AB=2，.1212122ABPAPBAE从而在2.2,22CDBCBECECBERt又中，所以CED为等边三角形，取CE的中点F，连接DF，则.CEDF因BE=BC=1，且BC⊥BE，则EBC为等腰直角三角形，连接BF，则BF⊥CE，所以BFD为所求的二面角的平面角。连接BD，在RFD中，.3,2221,263sin22CDBCBDCEBFCDDF所以.332cos222BFDFBDBFDFBFD故二面角B—EC—D的平面角的余弦值为.33解法二：（I）如答（20）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A—xyz.设D（0，a，0），则)0,,2(),0,0,2(aCB)22,0,22(),2,0,0(EP.于是)0,,0(),22,0,22(aBCAE)2,,2(aPC则0,0PCAEBCAE，所以AE⊥平面PBC.（II）解：设平面BEC的法向量为n，由（I）知，AE⊥平面BEC，故可取)22,0,22(1EAn设平面DEC的法向量),,(2222zyxn，则02DCn，.02DEn由||AD=1，得)0,1,2(),0,1,0(CD从而),22,1,22(),0,0,2(DEDC故02222,02222zyxx所以.2,0222yzx可取)2,1,0(,122ny则从而.33||||,cos212121nnnnnn所以二面角B—EC—D的平面角的余弦值为.33（21）（本题12分）解：（I）设C的标准方程是)0,0(12222babyax，则由题意.25,5acec因此,1,222acbaC的标准方程为.1422yxC的渐近线方程为.0202,21yxyxxy和即（II）解法一：如图（21）图，由题意点),(EEyxE在直线44:11`yyxxl和44:122yyxxl上，因此有EEExxyyxx211,44442Eyy故点M、N均在直线44yyxxEE上，因此直线MN的方程为.44yyxxEE设G、H分别是直线MN与渐近线02yx及02yx的交点，由方程组,02,4402,44yxyyxxyxyyxxEEEE及解得.2224,22,24EENEENEECEECyxyyxxyxyyxx故EEEEEEEEyxyxyxyxOGOG22222424.41222EEyx因为点E在双曲线.44,142222EEyxyx有上所以.341222EEyxOHOG解法二：设),(EEyxE，由方程组得,44,442211yyxxyyxx解得,,)(4122121122112yxyxxxyyxyxyyxEE故直线MN的方程为).(411xxyxyyEE注意到,4411EEyyxx因此直线MN的方程为44yyxxEE，下同解法一.