数列的极限

1.2.1数列的极限课前复习1.复合函数（1）复合函数的特征是函数“套”函数。复合只是一种形式，不是函数的新类型。（2）不是任何函数都可以复合成一个函数。复合后的函数要有意义。（3）可以把[()]yfx中的()yfu称为外层，()ux称为内层。（4）分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层均为简单函数为止。2.初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.3.分段函数分段函数是其定义域内的一个函数.分段函数一般不是初等函数，但如果分段函数可以用一个解析式表示，那么它就是一个初等函数．作业解析：习题1.17题解：（1）由复合而成。（2）（3）由由复合而成。复合而成。xycos33uy，xucos31xayyau，3uv，xv12lnxyyu，lnuv，2vx（4）由复合而成。2sin[tan(1)]yxsin,yu21vxtan,uv（5）由复合而成。4)ln1(xy4yu，1uv，lnvx1lnux，1、截杖问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”11;2l第一天剩下的杖长为21;4l第二天剩下的杖长为1;2nnnl第天剩下的杖长为12nnl0一、数列的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——(魏晋)刘徽2、割圆术R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.14163、数列的定义例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n按一定的次序排列的无穷多个数称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项，ny称为通项(一般项)。数列(1)记为{}ny.12,,,,(1)nyyy观察下面几个数列，当n时，ny的变化趋势．（1）,211,211,211:21132nny…，,211n…；（2）,41,31,21,1:)1(1nynn…，nn1)1(…；（3）1,1,1,1:)1(1nny…，1)1(n…；（4）,16,8,4,2:2nny…，n2…．10摆动数列在上面的例子中，数列（1）、（2）具有这样一种变化趋势：当项数n无限增大时，数列的通项na无限趋近于一个确定的常数。而数列（3）、（4）具有另一种变化趋势是：当n无限增大时，na却不趋近于任何一个确定的常数。我们把这种现象定义成数列极限的概念：二、数列极限的定义1、定义1.9当n无限增大（n）时，如果ny无限趋近于一个确定的常数a，则称常数a为数列ny的极限．记为：nlimnya或nya（n）此时也称数列{yn}收敛，否则称数列{yn}发散.根据数列极限的定义，上面的数列（1）、（2）的极限可记作：1lim(1)12nn1(1)lim0nnn数列（3）、（4）没有极限．例1观察下列数列当时是否有极限？有极限时写出其极限值：nnn（1）2)1(nynn；（2）1nnyn；（3）}1{ny；（4）99100nny．解：（1）0)1(limlim2nynnnn；（2）1limlimlim1111nnnnnynn（）；（3）11limlimnnny；（4）由计算器可以算得：100099.04.310-5，500099.01.510-22，1000099.02.210-44，2000099.05.110-88．由上面几个结果可以看出，n99.0随n的增大而减小，当n充分大时，n99.0是充分小的正数，由此可推测：99limlim()0100nnnny．寻规律：（１）如果1q，则0limnnq．（２）如果}{Cyn，则CCnlim．（C为常数）三、数列极限的性质定理1.1如果数列ny收敛，那么数列ny一定有界．定理1.2数列ny不能收敛于两个不同的极限，即数列的极限是唯一的．1,21,211,31,311,41,411,…有极限吗？思考：答案：由于奇数列极限为1，偶数列极限为0，故此数列无极限。定理1.3单调有界数列必有极限．课堂练习一、单选题（）1．数列0,31,42,53,64,…是A．以0为极限B．以1为极限C．以nn2为极限D．不存在极限（）2．下列极限正确的是A．nlimn999.0=1B．nlimn999.0=0C．nlimn)999.0(不存在D．nlimn001.1=1BB()3．数列nx与ny的极限分别是a与b，且ba,则数列1x,1y,2x,2y,…的极限为A．aB．bC．baD．不存在（）4．下列数列收敛的有A．9.0,99.0,999.0,…B．1,21,211,31,311,41,411,…C．1,1,1,1,1,1,…D．31,53,75,97,119,…DA二、填空题1．无穷数列6,6,6,6,…的极限是;2无穷数列1.0,21.0,31.0,…的极限是;3无穷数列9.1,99.1,999.1,9999.1,…的极限是;4无穷数列1.2,01.2,001.2,…的极限是;5无穷数列9.1,1.2,99.1,01.2,…的极限是．60222三、考察下面的数列，写出它们的极限：(1)1，21，31，，n1，；(2)5.9，5.99，5.999，，6－n101，．（3）－2，－2，－2，，－2．解：（1）nlimn1=0（2）nlim（6－n101）=6（3）nlim（－2）=－2四、习题1.21题1．当n时，下列数列的极限：（1）nnx61；（2）nnxn1；（3）1512nnxn；（4）nxn12；（5）nnx)1(；（6）nnx)31(1．解：（1）11limlim()066nnnn；（2）11limlim(1)1nnnnn；（3）12212limlim15155nnnnnn；（4）1lim(2)2nn；（5）摆动数列，无极限；（6）1lim[1()]13nn．课后小结1、数列极限的定义定义1.9当n无限增大（n）时，如果ny无限趋近于一个确定的常数a，则称常数a为数列ny的极限．记为：nlimnya或nya（n）此时也称数列{yn}收敛，否则称数列{yn}发散.2、两个重要结论（2）limncc（c为常数）（1）如果1q，那么lim0nnq3、数列极限的性质定理1.1如果数列ny收敛，那么数列ny一定有界．定理1.2数列ny不能收敛于两个不同的极限，即数列的极限是唯一的．定理1.3单调有界数列必有极限．布置作业：写出下列数列当n时的极限．221(1)nnan(2)na=nnn3321