不等式证明放缩法

不等式的证明（放缩法）1．设0,0xy，,111xyxyABxyxy，则,AB的大小关系是（）A.ABB.ABC.ABD.AB2．已知三角形的三边长分别为,,abc，设,,1111abcabMNQabcab，则,MN与Q的大小关系是（）A.MNQB.MQNC.QNMD.NQM3．设不等的两个正数,ab满足3322abab，则ab的取值范围是（）A.(1,)B.4(1,)3C.4[1,]3D.(0,1]4．设1010101111112212221A，则A与1的大小关系是.5．设111123100S，则S的整数部分为.6．已知,,abc均为正数，且222abc，求证：33332cabc.7．设nN，求证：21111925(21)4n.8．设nN，求证：111112122nnn.9．设nN，求证：222111124(2)n.10．设1223(1)nSnn，求证：不等式2(1)(1)22nnnnS对所有的正整数n都成立.简答：1．B提示：11111xyxyxyABxyxyxyxy2．D提示：由abc，得11abc，111111abcababcc3．B提示：由条件得22aabbab，所以222()abaabbab，故1ab.又2()0ab，可得22223()4()aabbaabb，从而23()4()abab，所以43ab，故413ab.4．A15．18提示：因为2n时，121nnnnn，所以21211nnnnn，即12(1)2(1)nnnnn故1111812(1012)112(1001)1923100所以所求整数部分为18.6．解：由已知可知，2220,0,,22abcacbcabcab，所以3322223()abaabbcabc，2333222()()()22ccababaabbcc所以原不等式得证.7．提示：由222111111()(21)4414441kkkkkkk，累加即得.8．提示：1111111111122222122nnnnnnnnnnnnn.9．提示：2211111(2)(1)1nnnnnn，累加即得.10．提示：2(1)(1)2kkkkk不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程：一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法二、放缩法：例一、若a,b,c,dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa证：记m=caddbdccacbbdbaa∵a,b,c,dR+∴1cbaddbadccacbabdcbaam2cdddccbabbaam∴1m2即原式成立例二、当n2时，求证：1)1(log)1(lognnnn证：∵n2∴0)1(log,0)1(lognnnn∴2222)1(log2)1(log)1(log)1(log)1(lognnnnnnnnnn12log22nn∴n2时,1)1(log)1(lognnnn例三、求证：213121112222n证：nnnnn111)1(112∴2121113121211113121112222nnnn三、反证法：例四、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于41证：设(1a)b41,(1b)c41,(1c)a41,则三式相乘：ab(1a)b•(1b)c•(1c)a641①又∵0a,b,c1∴412)1()1(02aaaa同理：41)1(bb,41)1(cc以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾∴原式成立例五、已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0证：设a0,∵abc0,∴bc0又由a+b+c0,则b+c=a0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0与题设矛盾又：若a=0，则与abc0矛盾，∴必有a0同理可证：b0,c0四、作业：证明下列不等式：1．设x0,y0,yxyxa1,yyxxb11，求证：ab放缩法：yyxxyxyyxxyxyx111112．lg9•lg111122299lg211lg9lg11lg9lg2223．1)1(log)1(lognnnn222)1(log)1(log)1(lognnnnnn12log22nn4．若abc,则0411accbbacacbbacbbacbba4)()(22))((121125．)2,(11211112nRnnnnn左边11111122222nnnnnnnn6．121211121nnn11121nnnn中式7．已知a,b,c0,且a2+b2=c2，求证：an+bncn(n≥3,nR*)∵122cbca，又a,b,c0,∴22,cbcbcacann∴1nncbca8．设0a,b,c2，求证：(2a)c,(2b)a,(2c)b,不可能同时大于1仿例四9．若x,y0，且x+y2，则xy1和yx1中至少有一个小于2反设xy1≥2，yx1≥2∵x,y0，可得x+y≤2与x+y2矛盾用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证143＜＋＜ab。证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜14（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋14（a＋b）2，即34（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜43，故有1＜a＋b＜43。例2.已知a、b、c不全为零，求证：aabbbbcccacaabc22222232＞（）证明：因为aabbabbababab22222234222（）＞（）≥，同理bbccbc222＞，cacaca222＞。所以aabbbbcccacaabc22222232＞（）二.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜abcbaccab。证明：由于a、b、c为正数，所以abcaabc＞，bacbabc＞，cabcabc＞，所以abcbaccabaabcbabccabc＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则abc为真分数，则abcaabc＜2，同理bacbabc＜2，cabcabc＜2，故abcbaccabaabcbabccabc＋＋＜＋＋2222.综合得12＜＋＋＜abcbaccab。三.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求n2n131211＜…。证明：因为122121nnnnnnn＜（），则11213…＜（）（）…（）＜1122123221212nnnnn，证毕。例5.已知*Nn且)1n(n3221an，求证：2)1(2)1(2nannn对所有正整数n都成立。证明：因为nnnn2)1(，所以2)1n(nn21an，又2)1()1(nnnn，所以2)1n(21n225232)1n(n232221a2n，综合知结论成立。四.公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6.已知函数1212)(xxxf，证明：对于*Nn且3n都有1)(nnnf。证明：由题意知)12)(1()12(212211)111()1221(112121)(nnnnnnnnnnnnnnnf，又因为*Nn且3n，所以只须证122nn，又因为1n21n2)1n(nn1CCCCC)11(2nn1nn2n1n0nnn所以1)(nnnf。例7.已知2x1)x(f，求证：当ab时fafbab（）（）。证明：fafbabababababab（）（）11111122222222bababa)ba(bababa证毕。五.换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。例8.已知cba，求证0ac1cb1ba1。证明：因为cba，所以可设tca，)0ut(ucb，所以0ut则0tuutt1u1t1u1ut1ac1cb1ba1，即0ac1cb1ba1。例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有222cba，当*Nn且3n时，求证：nnncba。证明：由于abc222，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为01sina，01cosa，则当n3时，sinsinnaa2，coscosnaa2，所以abcaacaacnnnnnnn(sincos)(sincos)22。六.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a，b∈R，求证b1ba1aba1ba。证明：构造函数)0x(x1x)x(f，首先判断其单调性，设21xx0，因为0)x1)(x1(xxx1xx1x)x(f)x(f2121221121，所以21xfxf，所以)x(f在],0[上是增函数，取bax1，bax2，显然满足21xx0，所以|)b||a(|f)ba(f，即|b|1|b||a|1|a||b||a|1|b||b||a|1|a||b||a|1|b||a||ba|1|ba|。证毕。放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的