3.4基本不等式

3.4基本不等式：（2课时）2abab这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2002年国际数学家大会会标三国时期吴国的数学家赵爽思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S`=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则AB=则正方形的面积为S=。问3：观察图形S与S`有什么样的大小关系？22ab2ab222abab易得，ss`,即ADCBc22abHGFEab问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？变化的弦图22ba问题4：s,S`有相等的情况吗？何时相等？图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有22=2abab形的角度数的角度当a=b时a2+b2－2ab=(a－b)2=0结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立222abab问5：当a,b为任意实数时，还成立吗？此不等式称为重要不等式222abab0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？2abab≥证明：要证只要证_______ab≥①要证①，只要证_____0ab≥②要证②，只要证2(______)0≥③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法22(0,0,(),())abaabb2abab≥)0,0(ba证明不等式：2ab2abba特别地，若a0，b0，则_____2abab≥通常我们把上式写作：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.2abab≥几何意义：半径不小于弦长的一半。ADBEOCab适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式重要变形：2220,0,22ababababababab若则，当且仅当时取等号。（由小到大）2.典例分析：题型一利用基本不等式求最值题型二基本不等式的实际应用11(1)0,;xxx例.已知求的最值.21xx1x2121:时原式有最小值即当且仅当解xxxx;1,0)2(的最值求已知xxx有最值，并求其最值。为何值时，函数当函数若xxxyx,31,3)3(结论1：两个正数积为定值，则和有最小值。5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3xxxx　　　、解。最大值为时，函数有最大值，即当且仅当54,313xxx.21xx1x2)1()(2)]x1()x[(1:2时有最大值即　当且仅当、解xxxx配凑系数分析:x+(1-2x)不是常数.2=1为解:∵0x,∴1-2x0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤∙[]22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即x=14∴当x=时,函数y=x(1-2x)的最大值是.1418例2.若0x,求函数y=x(1-2x)的最大值.12（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么a+b有最____值______(当且仅当_____时取“=”）.（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S（定值），那么ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.利用基本不等式求最值问题：.)2(2,0,02baababbaba或那么如果p2241s小大利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。a=ba=b例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？xyABDC例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.2xyxy≥210020,xy≥2()40xy≥当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.xy此时x=y=10.x=yABDC1001010xyxxyy解，可得若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.2P22≥xyxyP例3.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym22xyxy≤得xy≤81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m21892即x=y=9xyABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；214S21422≤≤xySxyxyS①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14１．已知函数，求函数的最小值和此时x的取值．xxxf1)(运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．２．已知函数，求函数的最小值．)2(23)(xxxxf用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．的最小值。，（其中求函数]20sin4sin3y。函数的最小值为解：4,4sin4sin2sin4siny用均值不等式求最值,必须注意“相等”的条件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.221R,2(),,abababab那么≥当且仅当时,等号成立(2)(0,0)2abababab≤，当且仅当时，等号成立。小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式五、课堂总结，布置作业1．课堂总结：（1）涉及知识点：基本不等式及其应用。（2）涉及数学思想方法：转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合思想。221R,2(),,abababab那么≥当且仅当时,等号成立(2)(0,0)2abababab≤，当且仅当时，等号成立。求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式作业：1、P100习题3.4A组1-22、P100习题3.4A组3-4。